Demostración por contraposición
La contraposición es un método en el que, en lugar de demostrar un enunciado directamente, se demuestra el enunciado lógicamente equivalente.
Si queremos demostrar una afirmación del tipo "si A, entonces B", podemos en su lugar demostrar "si no B, entonces no A". Como las dos afirmaciones son lógicamente iguales, la demostración es válida.
El método es útil cuando es difícil pasar directamente de A a B, pero es más fácil razonar hacia atrás de no-B a no-A.
La contraposición proporciona así un camino alternativo para llegar al mismo resultado.
Procedimiento
Una demostración por contraposición puede dividirse en tres pasos:
1. Reescribir el enunciado "si A, entonces B" como "si no B, entonces no A".
2. Suponer que la conclusión B no se cumple.
3. Mostrar lógicamente que esto implica que la suposición A tampoco puede cumplirse.
Ejemplo 1
Queremos demostrar: Si \( \large n^2 \) es impar, entonces \( \large n \) es impar. Directamente esto puede ser difícil, pero por contraposición se convierte en:
Si \( \large n \) es par, entonces \( \large n^2 \) es par.
Escribamos \( \large n = 2a \). Entonces obtenemos:
$$ \large n^2 = (2a)^2 = 4a^2 = 2(2a^2) $$
Por lo tanto, \( \large n^2 \) es par. Así, la contraposición está demostrada y la afirmación original queda probada.
Ejemplo 2
Queremos demostrar: Si un número entero \( \large n \) es divisible por 6, entonces es divisible por 3. La contraposición dice:
Si \( \large n \) no es divisible por 3, entonces \( \large n \) no es divisible por 6.
Supongamos que \( \large n \) no es divisible por 3. Esto significa que \( \large n = 3q + r \) con resto \( \large r = 1 \) o \( \large r = 2 \). En ambos casos \( \large n \) no es divisible por 6, ya que un número debe ser al menos divisible por 3 para poder ser divisible por 6. Por lo tanto, la afirmación queda demostrada por contraposición.
Ejemplo 3
Queremos demostrar: Si una fracción \( \large \frac{a}{b} \) está reducida a su forma irreducible, entonces \( \large a \) y \( \large b \) no son ambos divisibles por el mismo número primo. La contraposición dice:
Si \( \large a \) y \( \large b \) son divisibles por el mismo número primo, entonces la fracción \( \large \frac{a}{b} \) no está en su forma irreducible.
Supongamos que tanto \( \large a \) como \( \large b \) son divisibles por un primo \( \large p \). Entonces podemos escribir:
$$ \large a = p \cdot m \quad \text{y} \quad b = p \cdot n $$
La fracción se convierte entonces en:
$$ \large \frac{a}{b} = \frac{p \cdot m}{p \cdot n} = \frac{m}{n} $$
Así, la fracción puede reducirse por \( \large p \), lo que muestra que la fracción original no estaba en su forma irreducible. La contraposición queda así demostrada, y la afirmación original probada.
Las demostraciones por contraposición son a menudo más cortas y claras que las demostraciones directas al trabajar con propiedades de la teoría de números y divisibilidad. La técnica da otra perspectiva de un problema, pero el resultado es lógicamente exactamente el mismo.