Demostración directa
Una demostración directa es el método de demostración más sencillo en matemáticas. Aquí se parte de los supuestos dados y se razona paso a paso hasta la conclusión que se quiere mostrar.
Cada paso se basa en reglas conocidas, definiciones o resultados demostrados previamente.
El método es particularmente adecuado cuando se trabaja con enunciados del tipo "si ... entonces ...".
Se comienza suponiendo que la condición se cumple y luego se muestra lógicamente que la conclusión debe seguir. De este modo, una demostración directa se asemeja a una cadena de argumentos, donde cada eslabón sigue naturalmente del anterior.
Procedimiento
Al realizar una demostración directa, a menudo se puede estructurar el trabajo en tres pasos:
1. Suponer que los supuestos son verdaderos.
2. Usar definiciones, reglas y teoremas conocidos para derivar nuevos resultados.
3. Continuar hasta que se muestre la conclusión enunciada.
Ejemplo 1
Queremos demostrar que la suma de dos números impares siempre es par. Escribamos los números en la forma \( \large 2a+1 \) y \( \large 2b+1 \). Entonces obtenemos:
$$ \large (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1) $$
El resultado puede escribirse como 2 por un entero, es decir, un número par. Así, la afirmación queda demostrada directamente.
Ejemplo 2
Queremos demostrar que el producto de dos números pares siempre es divisible por 4. Escribamos los números como \( \large 2m \) y \( \large 2n \). Entonces:
$$ \large (2m)\cdot(2n) = 4mn $$
Como la expresión puede escribirse como 4 por un entero, siempre es divisible por 4. Así, la afirmación queda demostrada por demostración directa.
Ejemplo 3
Queremos demostrar que si dos números son divisibles por 3, entonces su suma también es divisible por 3. Escribamos los números como \( \large 3x \) y \( \large 3y \). Entonces obtenemos:
$$ \large 3x + 3y = 3(x+y) $$
La suma es un múltiplo de 3 y por lo tanto divisible por 3. Así, la afirmación queda demostrada directamente.
Las demostraciones directas proporcionan una comprensión clara e intuitiva de por qué una afirmación es verdadera. El método es también la base de muchas otras técnicas de demostración, que se construyen sobre la misma idea: que las reglas lógicas pueden conectar los supuestos con la conclusión.