Demostración por contradicción
Una demostración por contradicción es un método en el que se supone lo contrario de lo que se quiere demostrar y luego se muestra que esta suposición conduce a una contradicción. Cuando surge una contradicción, significa que la suposición no puede ser verdadera y, por lo tanto, la afirmación original debe ser correcta.
El método es útil cuando una demostración directa es difícil o poco clara. A menudo, una contradicción puede aclarar por qué una afirmación debe cumplirse, y la técnica se utiliza en muchas de las demostraciones más famosas de las matemáticas.
Procedimiento
Una demostración por contradicción puede describirse en tres pasos:
1. Suponer que la afirmación que se quiere demostrar es falsa.
2. Usar reglas lógicas, definiciones y resultados previos para derivar consecuencias de la suposición.
3. Mostrar que se llega a una contradicción, por ejemplo, que algo debe ser verdadero y falso al mismo tiempo.
Ejemplo 1
Queremos demostrar que no existe un número impar que sea divisible por 2. Supongamos lo contrario, que un número \( \large n \) es impar y divisible por 2. Entonces podemos escribir:
$$ \large n = 2a+1 \quad \text{y} \quad n = 2b $$
Aquí \( \large n \) está escrito de dos formas: como impar y como par. Esto es imposible, ya que las dos formas se excluyen mutuamente. Por lo tanto, la suposición es una contradicción, y la conclusión es que ningún número impar es divisible por 2.
Ejemplo 2
Una demostración clásica por contradicción es que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Supongamos lo contrario, que \( \large \sqrt{2} \) es racional, es decir, que puede escribirse como una fracción:
$$ \large \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$
donde \( \large p \) y \( \large q \) son enteros sin factores comunes. Reescribiendo esto, obtenemos:
$$ \large 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2 $$
Así \( \large p^2 \) es par, lo que significa que \( \large p \) debe ser par. Sea \( \large p = 2k \). Sustituyendo en la ecuación:
$$ \large (2k)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2k^2 $$
Ahora se sigue que \( \large q \) también es par. Pero entonces \( \large p \) y \( \large q \) tienen un factor común 2, lo que contradice la suposición de que la fracción estaba reducida. Por lo tanto, \( \large \sqrt{2} \) no puede ser racional.
Las demostraciones por contradicción son una de las herramientas más poderosas de las matemáticas. Se utilizan no solo para mostrar resultados en teoría de números, sino también en álgebra, análisis y lógica, donde un enfoque directo puede ser imposible. Al invertir el razonamiento, se puede mostrar la verdad a través de lo imposible.