Leyes de los conjuntos
Las leyes de los conjuntos describen las reglas fundamentales de cómo funcionan las operaciones con conjuntos. Estas leyes corresponden a menudo a reglas conocidas del álgebra y la lógica y nos dan herramientas para simplificar y manipular expresiones con conjuntos.
Leyes de identidad
Las leyes de identidad describen cómo funcionan la unión y la intersección con el conjunto vacío y el universo \( \large U\):
$$ \large A \cup \emptyset = A $$
$$ \large A \cap U = A $$
Estas leyes muestran que el conjunto vacío no añade nada a la unión y que el universo no elimina nada de la intersección.
Leyes conmutativas, asociativas y distributivas
Estas leyes muestran que el orden y la agrupación de las operaciones no cambian el resultado:
- Conmutatividad:
$$ \large A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A $$
- Asociatividad:
$$ \large (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$
$$ \large (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $$
- Distributividad:
$$ \large A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
$$ \large A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
Leyes de De Morgan
Las leyes de De Morgan relacionan la unión y la intersección con el complemento:
$$ \large (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $$
$$ \large (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $$
Estas leyes son importantes tanto en teoría de conjuntos como en lógica.
Leyes de absorción
Las leyes de absorción describen cómo un conjunto combinado con una operación sobre sí mismo y otro conjunto se simplifica:
$$ \large A \cup (A \cap B) = A $$
$$ \large A \cap (A \cup B) = A $$
Generalización a más conjuntos
Muchas de las leyes de los conjuntos pueden extenderse a más de dos conjuntos. Por ejemplo:
$$ \large A \cup (B \cup C \cup D) = (A \cup B) \cup (C \cup D) $$
$$ \large A \cap (B \cap C \cap D) = (A \cap B) \cap (C \cap D) $$
Esta generalización muestra que la mayoría de las leyes no solo se aplican a dos conjuntos, sino que pueden extenderse a un número cualquiera.