La teoría de conjuntos es el estudio de colecciones de objetos, que en matemáticas se llaman conjuntos.

Un conjunto consta de elementos, por ejemplo números, letras u otros objetos matemáticos. La idea es sencilla, pero constituye la base de gran parte de la matemática discreta, la lógica y la informática.

 

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección de elementos. Decimos que un conjunto consta de sus elementos. Si tenemos un conjunto A con los elementos 1, 2 y 3, podemos escribir:

 

$$ \large A = \{1, 2, 3\} $$

 

 

Notación

Si un elemento está en un conjunto, se escribe con el símbolo \( \large \in\). Si el elemento no está incluido, se usa el símbolo \( \large \notin\).

 

• \(\large a \in A\) significa que el elemento \( \large a\) está en el conjunto \( \large A\).
• \(\large a \notin A\) significa que el elemento \( \large a\) no está en el conjunto \( \large A\).

 

 

Símbolos lógicos

En la teoría de conjuntos también se usan a menudo símbolos lógicos para escribir definiciones con mayor precisión:

 

• \( \large \forall \) significa "para todo".
• \( \large \exists \) significa "existe".
• \( \large \wedge \) significa "y".
• \( \large \vee \) significa "o".
• \( \large \Rightarrow \) significa "si … entonces".
• \( \large \Leftrightarrow \) significa "si y solo si".

 

 

Más notaciones

Algunas notaciones se usan a menudo en relación con funciones y conjuntos numéricos:

 

• \( \large \lfloor x \rfloor \): función piso, el mayor número entero menor o igual que \( \large x \).
• \( \large \lceil x \rceil \): función techo, el menor número entero mayor o igual que \( \large x \).
• Intervalos:
  • \( \large [a,b] \): incluye tanto \( \large a \) como \( \large b \).
  • \( \large [a,b[ \): incluye \( \large a \), pero excluye \( \large b \).
  • \( \large ]a,b] \): excluye \( \large a \), pero incluye \( \large b \).

 

 

El conjunto vacío

Un conjunto también puede estar vacío. El conjunto vacío no contiene elementos y se escribe así:

 

$$ \large \emptyset \quad \text{o} \quad \{\} $$

 

Ejemplo: El conjunto de galletas enteras en una caja vacía es un conjunto vacío.

 

 

Conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si contienen exactamente los mismos elementos. El orden no importa y las repeticiones no cuentan.

Ejemplo:

 

$$ \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{5, 4, 3, 2, 1\} $$

 

Aquí \( \large A = B \), ya que ambos conjuntos contienen los mismos elementos.

 

 

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto significa el número de elementos distintos en el conjunto. Se escribe como \( \large |A|\).

Ejemplos:

 

• Si \( \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), entonces \(|A| = 5\).
• Si \( \large B = \{1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3\}\), entonces \(|B| = 5\), porque las repeticiones no se cuentan.

 

Los conjuntos numéricos importantes

En matemáticas, los números se dividen en varios conjuntos importantes:

 

• \( \large \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} \), el conjunto de los números naturales.
• \( \large \mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} \), el conjunto de los números enteros.
• \( \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\} \), el conjunto de los números racionales.
• \( \large \mathbb{R} \), el conjunto de los números reales.
• \( \large \mathbb{C} \), el conjunto de los números complejos.

 

Nota: Existen diferentes convenciones sobre si el 0 está incluido en los números naturales.