Cardinalidad e infinitos
La cardinalidad trata de medir cuántos elementos hay en un conjunto. Para conjuntos finitos es simple: la cardinalidad es simplemente el número de elementos. Para conjuntos infinitos se vuelve más interesante, porque no todas las infinitudes son del mismo tamaño.
Conjuntos finitos
Si \( \large A = \{1,2,3,4\}\), la cardinalidad es:
$$ \large |A| = 4 $$
Aquí se trata simplemente de contar los elementos.
Conjuntos infinitos numerables
Un conjunto es infinito numerable si sus elementos pueden disponerse en una lista, de modo que cada elemento tenga un número: \(1,2,3,\ldots\). Es decir, existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto y los números naturales \( \large \mathbb{N}\).
Ejemplos:
- Los números naturales: \( \large \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}\).
- Los números enteros: \( \large \mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\).
- Los números racionales: \( \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}\).
Todos estos conjuntos son infinitos, pero aun así pueden disponerse en una lista, lo que los hace numerables.
Conjuntos no numerables
Algunos conjuntos son tan grandes que no pueden disponerse en una lista. Se llaman no numerables. El ejemplo clásico es el conjunto de los números reales \( \large \mathbb{R}\).
Se puede demostrar que incluso entre 0 y 1 existen infinitos números reales, y que no pueden numerarse. Esto fue demostrado por Georg Cantor con el famoso truco de la diagonalización.
Diagonalización de Cantor
Supongamos que pudiéramos enumerar todos los números reales entre 0 y 1:
0.12345...
0.45012...
0.99999...
0.30147...
0.77777...
...
Ahora tomamos la secuencia diagonal de dígitos: \(1, 5, 9, 4, 7, \ldots\). Para cada uno de estos dígitos hacemos un cambio, por ejemplo sumando 1 (y reemplazando 9 por 0).
Así se construye un nuevo número:
$$ \large 0.26058\ldots $$
Este número es diferente de todos en la lista, porque difiere en al menos un dígito de cada número (el dígito diagonal). Por lo tanto, no puede existir una lista completa de los números reales en el intervalo \([0,1]\). El conjunto de los números reales es por tanto no numerable.
Tamaños de infinito
La cardinalidad de los números naturales se denota \( \large \aleph_0\) (alef-cero). Todos los conjuntos infinitos numerables tienen esta cardinalidad.
La cardinalidad de los números reales es mayor y se llama la cardinalidad del continuo, a menudo escrita como \( \large \mathfrak{c}\).
Así, existen varios “tamaños” de infinito: un conjunto infinito puede ser “más pequeño” que otro conjunto infinito, medido por la cardinalidad.
La hipótesis del continuo
Hemos visto que los números naturales \( \large \mathbb{N}\) tienen cardinalidad \( \large \aleph_0\), y que los números reales \( \large \mathbb{R}\) tienen una cardinalidad mayor, llamada el continuo \( \large \mathfrak{c}\).
La hipótesis del continuo (CH) plantea la pregunta: ¿existe un conjunto cuya cardinalidad esté entre ambas?
$$ \large \aleph_0 < |X| < \mathfrak{c} \;? $$
Si existiera tal conjunto, sería “más grande” que las infinitudes numerables, pero aún “más pequeño” que los números reales. Cantor creía que la respuesta era no, es decir, que no existe un conjunto con cardinalidad entre \( \aleph_0\) y \( \mathfrak{c}\). Esto se llama la hipótesis original del continuo.
El problema es famoso porque no puede decidirse dentro de las reglas habituales de la teoría de conjuntos. Estas reglas se llaman ZFC (teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel con el axioma de elección) y se usan como fundamento de la matemática moderna. Gödel demostró en 1940 que la hipótesis del continuo no puede refutarse en ZFC, y Cohen demostró en 1963 que tampoco puede probarse. Esto significa que la hipótesis es indecidible en ZFC.
En otras palabras: la hipótesis del continuo es una cuestión que no puede responderse con los axiomas sobre los que normalmente construimos la matemática. Se puede elegir ampliar el sistema y suponer que la hipótesis es verdadera, o que es falsa – ambas opciones son matemáticamente consistentes.
Por eso es uno de los ejemplos más fascinantes de cuestiones que se encuentran justo en el límite de lo que podemos demostrar.