Vectores en el espacio

Los vectores en el espacio amplían las mismas ideas que en el plano, pero ahora con tres coordenadas. Se utilizan para describir puntos, direcciones y relaciones en tres dimensiones.

 

Coordenadas

Un vector en el espacio puede describirse por las coordenadas \( \large (x,y,z) \). Si el vector comienza en el origen y termina en el punto \( \large (x,y,z) \), se escribe:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Adición y sustracción

Dos vectores en el espacio se suman sumando las coordenadas correspondientes:

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2,\; z_1 + z_2) $$

 

La sustracción se realiza de la misma manera:

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) - (x_2,y_2,z_2) = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2,\; z_1 - z_2) $$

 

 

Multiplicación por un número

Un vector puede multiplicarse por un número \( \large k \) multiplicando las tres coordenadas:

 

$$ \large k \cdot (x,y,z) = (k \cdot x,\; k \cdot y,\; k \cdot z) $$

 

 

Longitud

La longitud de un vector \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \) se encuentra mediante:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Producto escalar

Para dos vectores \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) y \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \), el producto escalar se define como:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 $$

 

Esto también puede expresarse mediante el ángulo \( \large \theta \) entre los vectores:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Producto vectorial

En tres dimensiones, se puede formar el producto vectorial de dos vectores. Para \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) y \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \):

 

$$ \large \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2,\; z_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot z_2,\; x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2) $$

 

El producto vectorial es un nuevo vector perpendicular tanto a \( \large \mathbf{u} \) como a \( \large \mathbf{v} \). La longitud del producto vectorial puede interpretarse como el área del paralelogramo que abarcan los vectores.

 

 

Rectas y planos

En el espacio, los vectores pueden utilizarse para describir rectas y planos.

 

Una recta que pasa por el punto \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \) con vector de dirección \( \large \mathbf{r} = (a,b,c) \) puede escribirse como:

 

$$ \large (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t \cdot (a,b,c), \quad t \in \mathbb{R} $$

 

Un plano puede describirse mediante un vector normal \( \large \mathbf{n} = (a,b,c) \) y un punto \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \):

 

$$ \large a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$