Espacio muestral y sucesos
Un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento.
- Lanzamiento de moneda: \(\Omega = \{\text{cara, cruz}\}\)
- Dado: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Sucesos
Un suceso es uno o varios resultados del espacio muestral.
- Sacar un 4 con un dado: \(\{4\}\)
- Sacar un número par: \(\{2,4,6\}\)
También se habla de sucesos especiales:
- Suceso imposible: por ejemplo sacar un \(8\) con un dado.
- Suceso seguro: por ejemplo sacar menos de \(7\) con un dado.
Espacio muestral uniforme
Se habla de un espacio muestral uniforme cuando todos los resultados son igualmente probables.
Esto podría ser, por ejemplo, un dado justo.
Aquí el espacio muestral es \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), y todos los resultados tienen la misma probabilidad.
La probabilidad de sacar un seis es:
\(\large \tfrac{1}{6}\) o una de seis
Si el suceso es sacar un número impar, los resultados favorables son \(\{1,3,5\}\).
La probabilidad es:
$$ \large\tfrac{3}{6} \Leftrightarrow \tfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0,5 \Leftrightarrow 50\% $$
Espacio muestral no uniforme
En algunos experimentos las probabilidades no son iguales. Aquí se habla de un espacio muestral no uniforme.
Un ejemplo es la lotería, donde la probabilidad de ganar es mucho menor que la de perder.
Dos dados
La probabilidad de sacar un seis con un dado es \(\tfrac{1}{6}\).
¿Pero qué ocurre si se tienen dos dados y se quiere la probabilidad de al menos un seis?
Hay en total \(6 \times 6 = 36\) resultados posibles.
Los resultados favorables se pueden mostrar en una tabla, donde el primer dado es el eje horizontal y el segundo el vertical:
Resultados favorables
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | X | |||||
| 2 | X | |||||
| 3 | X | |||||
| 4 | X | |||||
| 5 | X | |||||
| 6 | X | X | X | X | X | X |
Como se puede ver, se han marcado con cruces todos los resultados que tienen al menos un seis. En total hay 11.
Puede ser tentador pensar que hay 12 resultados favorables (6 por cada dado), pero el resultado donde ambos son seises cuenta solo una vez. ¡Es importante recordarlo!
La probabilidad es por lo tanto:
$$ \large \tfrac{11}{36} \approx 0,30 = 30\% $$
Si el suceso fuera sacar dos seises, solo hay 1 resultado favorable:
$$ \large \tfrac{1}{36} \approx 0,0277 = 2,77\% $$
Resumen
- Espacio muestral = todos los resultados posibles.
- Suceso = uno o varios resultados.
- Probabilidad = proporción de resultados favorables respecto al total.
- Con más dados o experimentos, el espacio muestral crece rápidamente.