Combinación (muestra no ordenada) es un método en combinatoria donde el orden no importa. Lo contrario son las permutaciones, donde el orden sí importa.

 

Al formar combinaciones, distinguimos entre sin reemplazo y con reemplazo.

 

 

Muestra no ordenada sin reemplazo

Imagina una baraja: ¿Cuántas manos diferentes de 5 cartas se pueden obtener de un conjunto de 52 cartas?

 

La muestra es no ordenada, porque no importa el orden en que se saquen las cartas. También es sin reemplazo, porque cada carta solo puede usarse una vez.

 

$$ \large C(n,r) = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!} $$

$$ \large C(52,5) = \frac{52!}{(52-5)! \cdot 5!} $$

 

El resultado es 2.598.960 manos de póker posibles.

 

 

Muestra no ordenada con reemplazo

Si debes elegir dos letras del conjunto \(\{A, B, C, D, E\}\), y está permitido elegir la misma letra más de una vez, entonces es una muestra no ordenada con reemplazo.

 

Esto significa que \(A,A\) está permitido, y que \(A,E\) es lo mismo que \(E,A\), porque el orden no importa.

 

$$ \large C(n,r) = \frac{(n-1+r)!}{(n-1)! \cdot r!} $$

$$ \large C(5,2) = \frac{(5-1+2)!}{(5-1)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = 15 $$

 

Las 15 combinaciones son:

 

(A,A), (A,B), (A,C), (A,D), (A,E)
(B,B), (B,C), (B,D), (B,E)
(C,C), (C,D), (C,E)
(D,D), (D,E)
(E,E)

 

Nota: En los libros en español se usa normalmente la notación \(C(n,r)\). Otra forma muy común es el coeficiente binomial:

 

$$ \large \binom{n}{r} $$

 

Se lee “n elige r”. Es la notación más universal y la que aparece en la colección de fórmulas.

 

 

Resumen

Una combinación es una muestra no ordenada, donde el orden no importa.

• Sin reemplazo: Cada elemento solo puede usarse una vez. Ejemplo: manos de póker con 52 cartas.
• Con reemplazo: El mismo elemento puede elegirse varias veces. Ejemplo: elegir letras donde la misma letra puede aparecer más de una vez.

Las combinaciones se usan para contar de cuántas maneras diferentes se puede elegir un conjunto de elementos cuando el orden no importa.