Simplificación de potencias

Reducir potencias significa usar las reglas de las potencias para escribir una expresión en una forma más sencilla. Las potencias se usan para hacer más corta la multiplicación repetida, y con la reducción podemos reescribir y reunir expresiones.

 

Ejemplo 1: Misma base con multiplicación

Cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes:

 

$$ \large a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7 $$

 

 

Ejemplo 2: Misma base con división

Cuando dividimos potencias con la misma base, restamos los exponentes:

 

$$ \large \tfrac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4 $$

 

 

Ejemplo 3: Potencia de una potencia

Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, multiplicamos los exponentes:

 

$$ \large (a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12} $$

 

Ejemplo 4: Varias bases diferentes

Cuando multiplicamos bases diferentes, no podemos sumar los exponentes, pero podemos escribirlo junto:

 

$$ \large 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 $$

 

 

Ejemplo 5: Exponentes negativos

Un exponente negativo significa que tomamos el valor recíproco:

 

$$ \large a^{-3} = \tfrac{1}{a^3} $$

 

 

Ejemplo 6: Cero como exponente

Cualquier número (excepto 0) elevado a 0 siempre da 1:

 

$$ \large a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$

 

 

Ejemplo 7: Combinación de reglas

Reduce la expresión:

 

$$ \large \tfrac{a^5 \cdot a^3}{a^4} $$

 

Primero reunimos en el numerador:

 

$$ \large a^{5+3} = a^8 $$

 

Luego dividimos:

 

$$ \large \tfrac{a^8}{a^4} = a^{8-4} = a^4 $$

 

 

Resumen

Cuando reduces potencias, recuerda:

 

• $$ \large a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$
• $$ \large \tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
• $$ \large (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
• $$ \large a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$
• $$ \large a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} $$

 

La simplificación de potencias hace que las expresiones sean más sencillas y es una parte importante del trabajo con álgebra, ecuaciones y funciones.