Número de soluciones
Cuando hay exactamente una solución
Lo más común es que un sistema de ecuaciones tenga exactamente una solución. Esto ocurre cuando las dos ecuaciones juntas dan un par específico de valores para \( \large x \) y \( \large y \).
$$ \large x+y=10 $$
$$ \large x-y=2 $$
Al resolver el sistema (por ejemplo con sustitución o eliminación) encontramos:
$$ \large x=6, \quad y=4 $$
El sistema tiene entonces exactamente una solución.
Cuando hay muchas soluciones
Algunos sistemas de ecuaciones resultan en infinitas soluciones:
$$ \large x+y = 20 $$
$$ \large 4x+4y=80 $$
Si usamos el Método de Coeficientes Iguales, debemos multiplicar la ecuación superior por 4. Ambas ecuaciones se vuelven idénticas:
$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$
$$ \large 4x+4y=80 $$
Cuando restamos las dos ecuaciones, obtenemos:
$$ \large 0=0 $$
Esto es cierto, y significa que todos los valores donde \( \large x+y=20 \) son soluciones.
$$ \large x=5, \quad y=15 $$
$$ \large x=\frac{22}{2}, \quad y=\frac{18}{2} $$
Por lo tanto, hay infinitas soluciones.
Cuando no hay ninguna solución
Algunos sistemas de ecuaciones no tienen ninguna solución:
$$ \large x+y = 20 $$
$$ \large 4x+4y=60 $$
Si usamos el Método de Coeficientes Iguales, debemos multiplicar la ecuación superior por 4:
$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$
$$ \large 4x+4y=60 $$
Cuando restamos las dos ecuaciones, obtenemos:
$$ \large 0=20 $$
Esto no es cierto. Significa que, sin importar qué números se sustituyan en \( \large x \) y \( \large y \), el sistema nunca puede cumplirse.
El sistema no tiene ninguna solución.
Resumen
- Una solución: El sistema da un resultado específico para \( \large x \) y \( \large y \).
- Muchas soluciones: Ambas ecuaciones resultan ser la misma, por lo que existen infinitas soluciones.
- Ninguna solución: Las ecuaciones se contradicen, por lo que no existe solución.