Método de eliminación
El método de eliminación también es conocido como método de coeficientes iguales y consiste en hacer que los coeficientes delante de una incógnita sean iguales en las dos ecuaciones y luego sumar o restar las ecuaciones para que la incógnita desaparezca.
Nos queda una ecuación con una sola incógnita, que podemos resolver.
A diferencia del método de sustitución, no aislamos directamente una incógnita, sino que cambiamos ambas ecuaciones para que una incógnita pueda ser eliminada.
Los coeficientes son los números que están delante de las incógnitas. Por ejemplo, en esta ecuación \(\large 8y-4x=4\). Aquí 8 y 4 son los coeficientes.
Tomamos las dos ecuaciones de antes:
$$ \large 8y-4x=4 $$
$$ \large 2y+4x=20 $$
Necesitamos coeficientes iguales para una de las incógnitas, por ejemplo \(\large y\). Podemos obtener esto multiplicando la ecuación inferior por 4, de modo que tengamos \(\large 8y\), que ya aparece en la superior.
$$ \large \textcolor{red}{4\cdot}2y+\textcolor{red}{4\cdot}4x=\textcolor{red}{4\cdot}20 \Leftrightarrow $$
$$ \large 8y+16x=80 $$
Ahora tenemos dos ecuaciones con dos coeficientes iguales, es decir, \(\large 8y\).
Restar las ecuaciones
Ahora las dos ecuaciones con coeficientes iguales deben restarse. Lo hacemos así:
$$ \large 8y-4x\textcolor{red}{-(8y+16x)}=4\textcolor{red}{-80} $$
Recuerda usar paréntesis para que no se produzcan errores de signo.
Eliminamos el paréntesis negativo, por lo que los signos deben cambiar:
$$ \large 8y-4x-(8y+16x)=4-80 \Leftrightarrow $$
$$ \large 8y-4x-8y-16x=4-80 $$
Seguimos aislando \(\large x\).
\(\large 8y\) desaparece porque \(\large 8y-8y=0\).
$$ \large \begin{aligned} -4x-16x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] -20x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{-20x}{20} &= \frac{-76}{20} \Leftrightarrow \\[12pt] -x &= -3,8 \Leftrightarrow \\[12pt] x &= 3,8 \end{aligned} $$
Encontrar la segunda incógnita
Ahora que hemos encontrado \(\large x\), debemos encontrar \(\large y\).
Esto no es diferente de los ejemplos anteriores. Insertamos nuestro \(\large x\) en una de las ecuaciones y encontramos \(\large y\). No importa cuál de las dos ecuaciones uses:
$$ \large \begin{aligned}2y+4x&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+4\cdot 3,8&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+15,2&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y&=20-15,2 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{2y}{2}&=\frac{4,8}{2} \Leftrightarrow \\[12pt] y&=2,4 \end{aligned} $$
Comprobación
Insertamos la solución en ambas ecuaciones para comprobar:
$$ \large 8\cdot 2,4 - 4\cdot 3,8 = 4 $$
$$ \large 2\cdot 2,4 + 4\cdot 3,8 = 20 $$
Ambas son correctas, por lo que la solución es correcta.
Nota: El método de eliminación siempre funciona, pero a veces muestra que el sistema no tiene solución o tiene infinitas:
- Si terminas con algo imposible, por ejemplo \( \large 0 = 5 \), significa que el sistema no tiene solución.
- Si terminas con algo trivial, por ejemplo \( \large 0 = 0 \), significa que el sistema tiene infinitas soluciones.