Método de sustitución

El método de sustitución consiste en aislar una de las incógnitas en una ecuación y luego insertar esta expresión en la otra ecuación. De esta manera obtenemos una nueva ecuación con solo una incógnita, que podemos resolver. Una vez encontrada la primera incógnita, podemos hallar la otra.

 

El método puede utilizarse para todos los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, pero puede resultar un poco más engorroso si los números son grandes o complicados.

 

Tenemos un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones:

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Aquí no podemos leer directamente el valor de \( \large x\) y \( \large y\), por lo que primero debemos encontrarlo.

Tomamos la primera ecuación y aislamos \( \large x\):

 

$$ \large \begin{aligned} 8y-4x &=4 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y &=4+4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y-4 &=4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{8y-4}{4} &=\frac{4x}{4} \quad \Leftrightarrow \\[12pt] 2y-1 &=x \end{aligned}$$

 

Ahora tenemos una expresión para el valor de \( \large x\)

 

 

Encontrar la primera incógnita

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Ahora insertamos el valor de \(\large x\) en la segunda ecuación

 

$$ \large 2y+4\color{red}{(2y-1)}=20 $$

 

Debemos eliminar el paréntesis multiplicando:

 

$$ \large \begin{aligned} 2y+8y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  10y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  \frac{10y-4}{10}&=\frac{20}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y-\frac{4}{10} &= 2 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y&= 2+ \frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y &= 2\frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow  \\[12pt]  y &= 2,4  \end{aligned} $$

 

 

Encontrar la segunda incógnita

Antes descubrimos que:

 

$$ \large x=2y-1 $$

 

Descubrimos que:

 

$$ \large y = 2,4 $$

 

Ahora podemos insertar \(\large y\) en la ecuación de \(\large x\):

 

$$ \large x=2y-1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=2\cdot 2,4 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=4,8 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=3,8 $$

 

Comprobación:

 

$$ \large 8\cdot2,4-4\cdot3,8=4 $$

$$ \large 2\cdot2,4+4\cdot3,8=20 $$

 

¡Ambas son correctas!

 

 

Nota: El método de sustitución siempre funciona, pero a veces muestra que el sistema no tiene solución o que tiene infinitas:

 

• Si terminas con algo imposible, por ejemplo \( \large 0 = 5 \), significa que el sistema no tiene solución.
• Si terminas con algo trivial, por ejemplo \( \large 0 = 0 \), significa que el sistema tiene infinitas soluciones.