Técnicas de integración

Cuando las reglas básicas de integración no son suficientes, existen métodos más avanzados para manejar funciones compuestas. Los dos más importantes son la sustitución y la integración por partes. Estos métodos permiten simplificar integrales complicadas reescribiéndolas en formas más sencillas.

 

 

Sustitución

La sustitución se utiliza cuando una integral contiene una función compuesta en la que parte de la expresión puede considerarse una nueva variable. El método es, en principio, la regla de la cadena aplicada “al revés”.

 

 

La idea de la sustitución

Si se puede identificar una expresión interna \( \large u = g(x) \) y el resto del integrando contiene \( \large g'(x)\,dx \), se puede reemplazar toda la expresión por una nueva variable \( \large u \). Luego se integra con respecto a \( \large u \) en lugar de \( \large x \).

 

$$ \large \int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx \;=\; \int f(u)\,du $$

 

 

 

 

Ejemplo 1: Sustitución de una función interna

Encontrar \( \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \)

 

Sea \( \large u = x^2 + 1 \), entonces \( \large du = 2x\,dx \). Así:

 

$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \int u^3\,du \;=\; \frac{u^4}{4} + C \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$

 

La sustitución simplifica el integrando, permitiendo integrarlo directamente mediante la regla de las potencias.

 

 

Ejemplo 2: Función exponencial

Encontrar \( \large \int e^{3x}\,dx \).

 

Aquí tomamos \( \large u = 3x \), de modo que \( \large du = 3\,dx \) o \( \large dx = \frac{du}{3} \):

 

$$ \large \int e^{3x}\,dx \;=\; \frac{1}{3}\int e^u\,du \;=\; \frac{1}{3}e^u + C \;=\; \frac{1}{3}e^{3x} + C $$

 

La sustitución garantiza que la derivada interna se maneje correctamente, haciendo que el resultado sea coherente.

 

 

Integración por partes

La integración por partes se usa cuando el integrando es el producto de dos funciones, una de las cuales tiene derivada conocida y la otra una primitiva conocida. El método proviene directamente de la regla del producto en derivación, aplicada “al revés”.

 

 

Fórmula

$$ \large \int u\,dv \;=\; u \cdot v - \int v\,du $$

 

Normalmente se elige \( \large u \) como la función que se simplifica al derivarla, y \( \large dv \) como la parte que es fácil de integrar.

 

 

Ejemplo 3: Polinomio por función exponencial

Encontrar \( \large \int x e^x\,dx \)

 

Sea \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) y \( \large dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \). Entonces obtenemos:

 

$$ \large \int x e^x\,dx \;=\; x e^x - \int e^x\,dx \;=\; e^x(x - 1) + C $$

 

 

Ejemplo 4: Producto de \( \large x \) y coseno

Encontrar \( \large \int x \cos x\,dx \)

 

Sea \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) y \( \large dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x \):

 

$$ \large \int x \cos x\,dx \;=\; x \sin x - \int \sin x\,dx \;=\; x \sin x + \cos x + C $$

 

 

Elección del método

La sustitución se utiliza cuando una función interna aparece junto con su derivada, mientras que la integración por partes se usa cuando el integrando es un producto y no hay una sustitución directa posible. Ambos métodos se complementan y cubren la mayoría de las integrales comunes.

 

 

Resumen

Estas técnicas de integración amplían las reglas básicas. La sustitución permite manejar funciones compuestas introduciendo una nueva variable, mientras que la integración por partes maneja productos. Juntas, hacen posible resolver integrales complejas de forma sistemática.