Integral indefinida

La integral indefinida describe el proceso inverso de la diferenciación. Mientras el cálculo diferencial mide cómo cambia una función, el cálculo integral indica qué función produce una determinada tasa de cambio. El resultado se llama función primitiva.

Función primitiva y notación

Si una función $ \large F(x) $ tiene la derivada $ \large F'(x)=f(x) $, se dice que $ \large F $ es una función primitiva de $ \large f $. Se escribe:

$$ \large \int f(x)\,dx \;=\; F(x) + C $$

Aquí $ \large C $ es una constante de integración, que representa que muchas funciones diferentes pueden tener la misma derivada. La constante no afecta la pendiente, sino que desplaza la gráfica verticalmente.

Ejemplo 1: Regla de la potencia básica

Encontrar la función primitiva de $ \large f(x) = x^n $, donde $ \large n \neq -1 $. Buscamos una función $ \large F $ cuya derivada sea $ \large x^n $. Esto da:

$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

Al sumar 1 al exponente y dividir por el nuevo exponente, se obtiene la función primitiva general para las potencias de $ \large x $.

Ejemplo 2: Suma y factor constante

Si la función consta de varios términos, se puede integrar cada uno por separado. Se cumple que:

$$ \large \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx $$

$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$

Estas reglas permiten encontrar funciones primitivas de expresiones compuestas trabajando término por término.

Ejemplo 3: Cálculo aplicado

Encontrar la función primitiva de $ \large f(x) = 3x^2 - 4x + 1 $:

$$ \large \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx \;=\; x^3 - 2x^2 + x + C $$

La función resultante $ \large F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C $ tiene precisamente la derivada $ \large F'(x)=3x^2 - 4x + 1 $.

Comprobación mediante diferenciación

Una buena manera de verificar el resultado es derivar nuevamente la función primitiva. Si obtenemos la función original $ \large f(x) $, el cálculo es correcto. Esto también muestra cómo la integración y la diferenciación son operaciones inversas.

Significado de la constante de integración

La familia de integrales indefinidas está formada por infinitas funciones que solo difieren en una constante. La constante $ \large C $ tiene un significado geométrico como desplazamiento vertical: todas las funciones primitivas tienen la misma forma, pero se encuentran a diferentes alturas en el plano de coordenadas.

Resumen

La integral indefinida se utiliza para encontrar funciones primitivas, es decir, las funciones cuya derivada corresponde a una dada $ \large f(x) $. La integración “invierte” la diferenciación. Cada función primitiva difiere solo en una constante, y la corrección siempre puede comprobarse derivando el resultado.