Reglas de integración

Para resolver integrales de manera más eficiente, existen varias reglas de cálculo que se asemejan a las de la derivación. Permiten integrar expresiones compuestas paso a paso sin volver a la definición cada vez.

 

 

1. Regla del factor constante

Una constante siempre puede sacarse fuera del signo de integración. Si \( \large k \) es una constante y \( \large f(x) \) una función, se cumple:

 

$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$

 

Ejemplo:

$$ \large \int 5x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \int x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C \;=\; \tfrac{5}{4}x^4 + C $$

 

 

2. Suma y diferencia

La integración se distribuye sobre la suma y la resta. Esto significa que se puede integrar cada término por separado:

 

$$ \large \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \;\pm\; \int g(x)\,dx $$

 

Ejemplo:

$$ \large \int (3x^2 - 2x + 4)\,dx \;=\; x^3 - x^2 + 4x + C $$

 

 

3. Regla de la potencia

La regla de la potencia es la fórmula más básica y se cumple para todo \( \large n \neq -1 \):

 

$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

 

Ejemplo:

$$ \large \int x^4\,dx \;=\; \frac{x^5}{5} + C $$

 

 

4. Regla logarítmica

Cuando el exponente es \( \large -1 \), se aplica una regla especial porque la regla de la potencia no puede usarse. En este caso aparece el logaritmo natural:

 

$$ \large \int \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln|x| + C $$

 

 

5. Funciones exponenciales

La integral de una función exponencial con base \( \large e \) es nuevamente una función exponencial:

 

$$ \large \int e^x\,dx \;=\; e^x + C $$

 

Si el exponente es una función lineal \( \large ax \), el resultado se ajusta con \( \large \frac{1}{a} \):

 

$$ \large \int e^{ax}\,dx \;=\; \frac{1}{a}e^{ax} + C $$

 

 

6. Funciones trigonométricas

Las integrales más importantes del seno y del coseno son:

 

$$ \large \int \sin x\,dx \;=\; -\cos x + C $$

$$ \large \int \cos x\,dx \;=\; \sin x + C $$

 

 

7. Funciones compuestas (regla de la cadena inversa)

Si la función contiene una expresión interna cuya derivada aparece fuera, se puede integrar “al revés” mediante sustitución (que se explica más adelante). Una forma simple es:

 

$$ \large \int f'(x)\,f(x)^n\,dx \;=\; \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C $$

 

Ejemplo:

$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$

 

 

Resumen

Las reglas de cálculo permiten encontrar integrales de forma rápida y segura. Las reglas del factor constante, de la suma y de la potencia se usan en casi todos los cálculos. Forman la base de los métodos más avanzados, como la sustitución y la integración por partes.