Kardinalität und Unendlichkeiten

Kardinalität bedeutet zu messen, wie viele Elemente in einer Menge enthalten sind. Für endliche Mengen ist es einfach: die Kardinalität ist einfach die Anzahl der Elemente. Für unendliche Mengen wird es interessanter, da nicht alle Unendlichkeiten gleich groß sind.

 

 

Endliche Mengen

Wenn \( \large A = \{1,2,3,4\}\), dann ist die Kardinalität:

 

$$ \large |A| = 4 $$

 

Hier handelt es sich einfach um das Zählen der Elemente.

 

 

Zählbar unendliche Mengen

Eine Menge ist zählbar unendlich, wenn ihre Elemente in einer Liste aufgestellt werden können, so dass jedes Element eine Nummer erhält: \(1,2,3,\ldots\). Das heißt, es existiert eine eineindeutige Entsprechung zwischen der Menge und den natürlichen Zahlen \( \large \mathbb{N}\).

 

Beispiele:

 

  • Die natürlichen Zahlen: \( \large \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}\).
  • Die ganzen Zahlen: \( \large \mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\).
  • Die rationalen Zahlen: \( \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}\).

 

All diese Mengen sind unendlich, aber sie können trotzdem in einer Liste aufgestellt werden, was sie zählbar macht.

 

 

Überabzählbare Mengen

Einige Mengen sind so groß, dass sie nicht in einer Liste aufgestellt werden können. Sie heißen überabzählbar. Das klassische Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen \( \large \mathbb{R}\).

 

Man kann zeigen, dass es selbst zwischen 0 und 1 unendlich viele reelle Zahlen gibt, und dass sie nicht nummeriert werden können. Dies wurde von Georg Cantor mit dem berühmten Diagonalisierungsargument bewiesen.

 

 

Cantors Diagonalisierung

Nehmen wir an, wir könnten alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 auflisten:

 

0.12345...

0.45012...

0.99999...

0.30147...

0.77777...

...

 

Wir nehmen nun die diagonale Ziffernfolge: \(1, 5, 9, 4, 7, \ldots\). Für jede dieser Ziffern machen wir eine Änderung, z. B. indem wir 1 addieren (und 9 durch 0 ersetzen).

 

Damit wird eine neue Zahl konstruiert:

 

$$ \large 0.26058\ldots $$

 

Diese Zahl unterscheidet sich von allen Zahlen in der Liste, da sie sich in mindestens einer Ziffer von jeder Zahl unterscheidet (der diagonalen Ziffer). Daher kann es keine vollständige Liste der reellen Zahlen im Intervall \([0,1]\) geben. Die Menge der reellen Zahlen ist also überabzählbar.

 

 

Größen von Unendlichkeiten

Die Kardinalität der natürlichen Zahlen wird mit \( \large \aleph_0\) (Aleph-Null) bezeichnet. Alle zählbar unendlichen Mengen haben diese Kardinalität.

 

Die Kardinalität der reellen Zahlen ist größer und wird Kardinalität des Kontinuums genannt, oft geschrieben als \( \large \mathfrak{c}\).

 

Es gibt also verschiedene „Größen“ von Unendlichkeiten: Eine unendliche Menge kann „kleiner“ sein als eine andere unendliche Menge, gemessen an der Kardinalität.

 

 

Die Kontinuumshypothese

Wir haben gesehen, dass die natürlichen Zahlen \( \large \mathbb{N}\) die Kardinalität \( \large \aleph_0\) haben und dass die reellen Zahlen \( \large \mathbb{R}\) eine größere Kardinalität haben, das sogenannte Kontinuum \( \large \mathfrak{c}\).

 

Die Kontinuumshypothese (CH) stellt die Frage: Gibt es eine Menge, deren Kardinalität dazwischen liegt?

 

$$ \large \aleph_0 < |X| < \mathfrak{c} \;? $$

 

Wenn es eine solche Menge gäbe, wäre sie „größer“ als die zählbaren Unendlichkeiten, aber immer noch „kleiner“ als die reellen Zahlen. Cantor glaubte, dass die Antwort nein lautet, also dass es keine Menge mit einer Kardinalität zwischen \( \aleph_0\) und \( \mathfrak{c}\) gibt. Dies nennt man die ursprüngliche Kontinuumshypothese.

 

Das Problem ist berühmt, weil es innerhalb der üblichen Regeln der Mengenlehre nicht entschieden werden kann. Diese Regeln heißen ZFC (Zermelo–Fraenkel-Mengenlehre mit dem Auswahlaxiom) und bilden die Grundlage der modernen Mathematik. Gödel zeigte 1940, dass die Kontinuumshypothese in ZFC nicht widerlegt werden kann, und Cohen zeigte 1963, dass sie auch nicht bewiesen werden kann. Das bedeutet, dass die Hypothese in ZFC unentscheidbar ist.

 

Mit anderen Worten: Die Kontinuumshypothese ist eine Frage, die mit den Axiomen, auf denen wir normalerweise die Mathematik aufbauen, nicht beantwortet werden kann. Man kann das System erweitern und annehmen, dass die Hypothese wahr ist, oder dass sie falsch ist – beides ist mathematisch konsistent.

Deshalb ist sie eines der faszinierendsten Beispiele für Fragen, die genau an der Grenze dessen liegen, was wir beweisen können.