Mengenlehre ist die Lehre von Sammlungen von Objekten, die in der Mathematik Mengen genannt werden.

Eine Menge besteht aus Elementen, zum Beispiel Zahlen, Buchstaben oder anderen mathematischen Objekten. Die Idee ist einfach, aber sie bildet die Grundlage für große Teile der diskreten Mathematik, der Logik und der Informatik.

 

Was ist eine Menge

Eine Menge ist eine Sammlung von Elementen. Wir sagen, dass eine Menge aus ihren Elementen besteht. Wenn wir eine Menge A mit den Elementen 1, 2 und 3 haben, können wir schreiben:

 

$$ \large A = \{1, 2, 3\} $$

 

 

Notation

Wenn ein Element in einer Menge enthalten ist, schreibt man es mit dem Symbol \( \large \in\). Wenn das Element nicht enthalten ist, verwendet man das Symbol \( \large \notin\).

 

• \(\large a \in A\) bedeutet, dass das Element \( \large a\) in der Menge \( \large A\) liegt.
• \(\large a \notin A\) bedeutet, dass das Element \( \large a\) nicht in der Menge \( \large A\) liegt.

 

 

Logische Symbole

In der Mengenlehre werden auch oft logische Symbole verwendet, um Definitionen präziser zu formulieren:

 

• \( \large \forall \) bedeutet "für alle".
• \( \large \exists \) bedeutet "es existiert".
• \( \large \wedge \) bedeutet "und".
• \( \large \vee \) bedeutet "oder".
• \( \large \Rightarrow \) bedeutet "wenn … dann".
• \( \large \Leftrightarrow \) bedeutet "genau dann, wenn".

 

 

Weitere Notationen

Einige Notationen werden oft im Zusammenhang mit Funktionen und Zahlmengen verwendet:

 

• \( \large \lfloor x \rfloor \): Ganzzahl-Funktion (Abrunden), die größte ganze Zahl kleiner oder gleich \( \large x \).
• \( \large \lceil x \rceil \): Ganzzahl-Funktion (Aufrunden), die kleinste ganze Zahl größer oder gleich \( \large x \).
• Intervalle:
  • \( \large [a,b] \): einschließlich sowohl \( \large a \) als auch \( \large b \).
  • \( \large [a,b[ \): einschließlich \( \large a \), aber ausschließlich \( \large b \).
  • \( \large ]a,b] \): ausschließlich \( \large a \), aber einschließlich \( \large b \).

 

 

Die leere Menge

Eine Menge kann auch leer sein. Die leere Menge enthält keine Elemente und wird geschrieben als:

 

$$ \large \emptyset \quad \text{oder} \quad \{\} $$

 

Beispiel: Die Menge ganzer Kekse in einer leeren Keksdose ist eine leere Menge.

 

 

Gleiche Mengen

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und Wiederholungen werden nicht gezählt.

Beispiel:

 

$$ \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{5, 4, 3, 2, 1\} $$

 

Hier gilt \( \large A = B \), da beide Mengen dieselben Elemente enthalten.

 

 

Kardinalität

Die Kardinalität einer Menge bedeutet die Anzahl der verschiedenen Elemente in der Menge. Sie wird geschrieben als \( \large |A|\).

Beispiele:

 

• Wenn \( \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), dann ist \(|A| = 5\).
• Wenn \( \large B = \{1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3\}\), dann ist \(|B| = 5\), da Wiederholungen nicht gezählt werden.

 

Die wichtigen Zahlmengen

In der Mathematik werden Zahlen in verschiedene wichtige Mengen eingeteilt:

 

• \( \large \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} \), die Menge der natürlichen Zahlen.
• \( \large \mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} \), die Menge der ganzen Zahlen.
• \( \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\} \), die Menge der rationalen Zahlen.
• \( \large \mathbb{R} \), die Menge der reellen Zahlen.
• \( \large \mathbb{C} \), die Menge der komplexen Zahlen.

 

Hinweis: Es gibt unterschiedliche Konventionen darüber, ob 0 zu den natürlichen Zahlen gehört.