Permutation (geordnete Stichprobe) ist eine Methode in der Kombinatorik, bei der die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Das Gegenteil sind Kombinationen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

 

Wenn wir Elemente ziehen, kann dies ohne Zurücklegen oder mit Zurücklegen geschehen:

 

Ohne Zurücklegen:

Ein Element kann nur einmal verwendet werden. Wenn du eine Kugel aus einem Beutel ziehst und sie nicht zurücklegst, kann sie nicht erneut gezogen werden.

 

Mit Zurücklegen:

Ein Element kann mehrfach verwendet werden. Wenn du eine Kugel aus einem Beutel ziehst, sie aber zurücklegst, kann sie erneut gezogen werden.

 

Wenn wir von Permutationen (geordnete Stichproben) sprechen, unterscheiden wir also zwischen ohne Zurücklegen und mit Zurücklegen.

 

 

Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Bei einem Fußballturnier mit 6 Mannschaften soll es einen 1., 2. und 3. Platz geben.

 

Auf wie viele Arten können die Medaillen verteilt werden?

 

Die Stichprobe ist geordnet, weil es wichtig ist, welche Mannschaft 1., 2. und 3. wird.

Sie ist auch ohne Zurücklegen, da eine Mannschaft nicht mehr als einen Platz belegen kann.

 

$$ \large P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{6!}{3!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{720}{6} $$

$$ \large Permutationen\ = 120 $$

 

Es gibt also 120 mögliche Verteilungen der Medaillen.

 

 

Vollständige Permutation

Im Medaillenbeispiel haben wir nur eine Teilmenge der Mannschaften gewählt, wo \( \large r < n \).

Man kann auch eine vollständige Permutation haben, bei der alle Elemente enthalten sind. In diesem Fall:

 

$$ \large P(n,n) = n! $$

 

Beispiel: Alle 6 Mannschaften sollen in einer Reihe stehen:

 

$$ \large 6! = 720 $$

 

Es gibt also 720 mögliche Reihenfolgen.

 

 

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Wenn du einen Code für dein Fahrradschloss mit 4 Ziffern wählen musst, gibt es bei jeder Wahl 10 mögliche Zahlen (0-9).

Du kannst \( \large 5555 \) wählen, da es mit Zurücklegen ist. Dieselbe Ziffer darf mehrfach verwendet werden.

Die Reihenfolge ist ebenfalls wichtig: \( \large 1234 \) ist nicht dasselbe wie \( \large 4321 \).

 

Du musst 4 Ziffern wählen, und es gibt jedes Mal 10 Möglichkeiten (0-9).

 

$$ \large Permutationen\ = n^r $$

$$ \large Permutationen\ = 10^4 $$

$$ \large Permutationen\ = 10.000 $$

 

Es gibt also 10.000 mögliche Codes.

 

 

Zusammenfassung

Eine Permutation ist eine geordnete Stichprobe, bei der die Reihenfolge wichtig ist.

 

• Ohne Zurücklegen: Ein Element kann nur einmal verwendet werden. Beispiel: Medaillenverteilung im Sport.
• Mit Zurücklegen: Ein Element kann mehrfach verwendet werden. Beispiel: PIN-Codes.
• Vollständige Permutation: Alle Elemente sind enthalten, und die Anzahl ist \( \large n! \).

 

Permutationen werden verwendet, um mögliche Reihenfolgen zu zählen, und sie wachsen sehr schnell an, selbst bei kleinen Werten von \( \large n \).