Kombination (ungeordnete Stichprobe) ist eine Methode in der Kombinatorik, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Das Gegenteil sind Permutationen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist.

 

Bei Kombinationen unterscheiden wir zwischen ohne Zurücklegen und mit Zurücklegen.

 

 

Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Stell dir ein Kartenspiel vor: Wie viele verschiedene 5-Karten-Hände kann man aus einem Satz von 52 Karten erhalten?

 

Die Stichprobe ist ungeordnet, weil die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, keine Rolle spielt. Sie ist auch ohne Zurücklegen, da jede Karte nur einmal verwendet werden kann.

 

$$ \large \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!} $$

$$ \large \binom{52}{5} = \frac{52!}{(52-5)! \cdot 5!} $$

 

Das Ergebnis sind 2.598.960 mögliche Pokerhände.

 

 

Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Wenn du zwei Buchstaben aus der Menge \(\{A, B, C, D, E\}\) auswählen musst und derselbe Buchstabe mehrmals gewählt werden darf, dann ist dies eine ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen.

 

Das bedeutet, dass \(A,A\) erlaubt ist, und dass \(A,E\) dasselbe ist wie \(E,A\), weil die Reihenfolge keine Rolle spielt.

 

$$ \large \binom{n+r-1}{r} = \frac{(n-1+r)!}{(n-1)! \cdot r!} $$

$$ \large \binom{5+2-1}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = 15 $$

 

Die 15 Kombinationen sind:

 

(A,A), (A,B), (A,C), (A,D), (A,E)
(B,B), (B,C), (B,D), (B,E)
(C,C), (C,D), (C,E)
(D,D), (D,E)
(E,E)

 

Hinweis: Im Deutschen wird häufig direkt die Binomialnotation verwendet:

 

$$ \large \binom{n}{r} $$

 

Man findet aber auch manchmal die Schreibweise \(C(n,r)\). Die binomiale Schreibweise ist die universellste und diejenige, die in der Formelsammlung aufgeführt ist.

 

 

Zusammenfassung

Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt.

• Ohne Zurücklegen: Jedes Element darf nur einmal verwendet werden. Beispiel: Pokerhände aus 52 Karten.
• Mit Zurücklegen: Dasselbe Element darf mehrfach gewählt werden. Beispiel: Auswahl von Buchstaben, bei der derselbe Buchstabe mehrmals erscheinen darf.

Kombinationen werden verwendet, um zu zählen, auf wie viele verschiedene Arten man eine Menge von Elementen auswählen kann, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.