Der binomische Lehrsatz ist ein wichtiges Ergebnis in der Kombinatorik und Algebra. Er liefert eine allgemeine Methode zur Entwicklung eines Ausdrucks der Form \((x+y)^n\).

 

Die Formel basiert auf Kombinationen. Jeder Term der Entwicklung entspricht der Wahl, welche Faktoren \(x\) und welche \(y\) sind.

 

 

Beispiel mit \( \large n=2 \)

Wir entwickeln \((x+y)^2\):

 

$$ \large (x+y)^2 = (x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$

 

Die Koeffizienten vor jedem Term sind \( \large 1,2,1 \).

Weil:

• Es gibt 1 \( \large x^2 \)
• Es gibt 2 \( \large xy \)
• Es gibt 1 \( \large y^2 \)

 

 

Beispiel mit \( \large n=3 \)

Wir entwickeln \((x+y)^3\):

 

$$ \large (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

 

Die Koeffizienten sind \( \large 1,3,3,1 \).

 

 

Beispiel mit \( \large n=4 \)

Wir entwickeln \((x+y)^4\):

 

$$ \large (x+y)^4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 $$

 

Die Koeffizienten sind \( \large 1,4,6,4,1 \).

 

 

Pascalsches Dreieck

Die erhaltenen Koeffizienten können in einem Dreieck organisiert werden, das Pascalsches Dreieck genannt wird:

 

 

$$ \large \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & 1 & & & & & & & \\ & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\ & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\ & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\ & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\ & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\ & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\ & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\ 1 & & 8 & & 28 & & 56 & & 70 & & 56 & & 28 & & 8 & & 1 \\ \end{array} $$

 

Jede Zeile entspricht den Koeffizienten in \(\large (x+y)^n\).

 

 

Die allgemeine Formel

Der binomische Lehrsatz lautet allgemein:

 

$$ \large (x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r} $$

 

Hier ist \(\large \binom{n}{r}\) eine Kombination und zeigt, auf wie viele Arten man \(r\) Faktoren von \(x\) aus insgesamt \(n\) auswählen kann.

 

 

Beispiel mit \( \large n=5 \)

Die Entwicklung von \((x+y)^5\) ergibt:

 

$$ \large (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 $$

 

Die Koeffizienten \( \large 1,5,10,10,5,1 \) entsprechen der Zeile 5 im Pascalschen Dreieck.

 

 

Zusammenfassung

• Der binomische Lehrsatz liefert eine Methode zur Entwicklung von \((x+y)^n\).
• Die Koeffizienten finden sich im Pascalschen Dreieck.
• Die Koeffizienten werden durch Kombinationen gegeben: \(\large \binom{n}{r}\).

 

Der Satz verbindet Algebra, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und bildet die Grundlage für die Binomialverteilung.