Règle de division
La règle de division est une des techniques de comptage fondamentales. Elle est utilisée lorsque nous avons compté trop de combinaisons, car la même solution peut apparaître plusieurs fois dans le comptage.
La règle repose sur le fait que si chaque combinaison unique est comptée le même nombre de fois, nous pouvons trouver le bon nombre en divisant par ce nombre.
Exemple 1: Places assises
6 personnes doivent s’asseoir autour d’une table ronde. Si nous comptons les permutations directement, nous obtenons :
$$ \large 6! = 720 $$
Mais autour d’une table, les dispositions sont les mêmes, même si tout le monde se déplace d’une chaise vers la droite. Chaque disposition unique est donc comptée 6 fois. Le bon nombre est :
$$ \large \frac{6!}{6} = 120 $$
Exemple 2: Couleurs dans un drapeau
Nous voulons faire un drapeau avec trois bandes, en utilisant les couleurs rouge, blanc et bleu. Si nous comptons toutes les permutations, nous obtenons :
$$ \large 3! = 6 $$
Mais si deux des bandes ont la même couleur, nous obtenons des répétitions. Par exemple : rouge, rouge, bleu. Ici chaque combinaison unique est comptée plusieurs fois. Nous corrigeons en divisant par le nombre de répétitions.
Formule
En général :
$$ \large \text{Nombre de combinaisons uniques} = \frac{\text{nombre de combinaisons comptées}}{\text{nombre de répétitions par combinaison}} $$
Spécialement pour les permutations avec répétitions :
$$ \large \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} $$
où \( n \) est le nombre total d’éléments, et \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) sont les nombres d’éléments identiques.
Quand peut-on utiliser la Règle de division ?
- Quand la même combinaison apparaît plusieurs fois dans un comptage.
- Quand des positions ou des choix sont considérés comme identiques dans certaines situations (symétrie ou répétitions).
La Règle de division est donc un outil pour corriger un surcomptage.
Résumé
La Règle de division est utilisée lorsque nous comptons trop de combinaisons parce que la même solution est comptée plusieurs fois. Nous trouvons le bon nombre en divisant par le nombre de répétitions.
La règle joue un rôle important dans les permutations avec répétitions et dans les situations de symétrie.