Méthode de multiplication
Méthode de multiplication (aussi appelée la règle du produit) est une des techniques de comptage les plus fondamentales.
Elle est utilisée lorsqu’il faut combiner plusieurs choix à la fois.
La méthode repose sur l’idée que si nous avons plusieurs choix indépendants, nous pouvons trouver le nombre total de combinaisons en multipliant le nombre de possibilités de chaque choix.
Exemple 1: Choix de vêtements
Un élève doit composer une tenue :
- 3 chemises
- 2 pantalons
- 4 paires de chaussures
Comme il faut choisir chemise et pantalon et chaussures, nous devons multiplier les possibilités :
$$ \large 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24\ combinaisons $$
Exemple 2: Mot de passe
Un mot de passe se compose de 3 chiffres, chaque chiffre pouvant aller de 0 à 9 :
- 1er chiffre : 10 possibilités
- 2e chiffre : 10 possibilités
- 3e chiffre : 10 possibilités
Au total, nous obtenons :
$$ \large 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\ codes $$
Exemple 3: Deux dés
Nous lançons deux dés ordinaires. Chaque dé a 6 résultats possibles :
- Premier dé : 6 possibilités
- Deuxième dé : 6 possibilités
Au total, il y a :
$$ \large 6 \cdot 6 = 36\ résultats $$
Formule
En général :
$$ \large \text{Nombre de combinaisons} = a \cdot b \cdot c \cdot \ldots \cdot n $$
Quand peut-on utiliser la Méthode de multiplication ?
- Quand il faut faire plusieurs choix à la fois.
- Quand les choix sont indépendants les uns des autres.
Un simple arbre peut illustrer la méthode. Pour chaque choix, les possibilités se ramifient, et le nombre total de branches correspond au produit des possibilités.
Quand les choix ne sont pas indépendants
La Méthode de multiplication ne fonctionne que si les choix sont indépendants. S’ils s’influencent, on ne peut pas simplement multiplier les possibilités.
Exemple : Si on doit créer un code à 3 chiffres, mais que les chiffres ne peuvent pas être répétés, le nombre de possibilités est :
$$ \large 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 $$
Résumé
La Méthode de multiplication est utilisée lorsqu’on doit choisir plusieurs choses en même temps. Le nombre total de combinaisons est obtenu en multipliant le nombre de possibilités de chaque choix.
La méthode est donc fondamentale en combinatoire et joue un rôle central dans des sujets comme les permutations, les combinaisons et le calcul des probabilités.