Méthode d’addition
Méthode d’addition (aussi appelée la règle de la somme) est une des techniques de comptage les plus fondamentales. Elle est utilisée lorsqu’il faut choisir soit une chose soit une autre, mais pas les deux en même temps.
La méthode repose sur l’idée que si nous avons deux ou plusieurs options qui ne se chevauchent pas, nous pouvons trouver le nombre total de possibilités en les additionnant.
Exemple 1: Transport
Un élève doit choisir un transport pour aller à l’école :
- Soit: Vélo (1 possibilité)
- Ou: Prendre le bus (2 lignes différentes)
- Ou: Prendre le train (1 possibilité)
Comme il s’agit d’un choix de soit vélo ou bus ou train, nous devons additionner les possibilités :
$$ \large 1 + 2 + 1 = 4\ possibilités $$
Exemple 2: Librairie
Une librairie propose des livres dans trois matières :
- 12 livres de mathématiques
- 7 livres de physique
- 5 livres de biologie
Si vous choisissez un livre, le nombre total de possibilités est :
$$ \large 12 + 7 + 5 = 24 $$
Formule
En général :
$$ \large \text{Nombre de possibilités} = a + b + c + \ldots + n $$
Quand peut-on utiliser la Méthode d’addition ?
- Quand il s’agit de choix mutuellement exclusifs. Vous ne pouvez choisir qu’une option à la fois.
- Quand aucune des options ne se chevauche. Sinon, on risque de compter deux fois.
Un simple diagramme avec trois branches (vélo, bus, train) peut illustrer la méthode. Le nombre total de branches correspond à la somme des possibilités.
Quand les options se chevauchent
La Méthode d’addition ne fonctionne que si les options sont complètement séparées. Si elles se chevauchent, on ne peut pas simplement les additionner, car on compterait deux fois les options communes.
Exemple: Une librairie vend des livres de mathématiques et de physique. Il y a 20 livres de mathématiques et 15 de physique. Cinq livres appartiennent aux deux catégories. Si on additionne simplement les nombres, on obtient :
$$ \large 20 + 15 = 35 $$
Mais le nombre correct est :
$$ \large 20 + 15 - 5 = 30 $$
Pour ce type de problème, on utilise plutôt le principe d’inclusion–exclusion, qui est une extension de la méthode d’addition.
Résumé
La Méthode d’addition est utilisée lorsqu’on est face à un choix où l’on peut choisir soit une option ou une autre. Elle donne le nombre total de possibilités en les additionnant.
La méthode est donc fondamentale dans de nombreux problèmes de combinatoire.
Si les options se chevauchent, on doit passer au principe d’inclusion–exclusion, qui corrige le double comptage.