Relations comme sous-ensembles de produits cartésiens

Une relation décrit un lien entre des éléments d'un ou plusieurs ensembles. En théorie des ensembles, une relation est définie comme une partie d'un produit cartésien.

 

 

Définition

Si nous avons deux ensembles \( \large A\) et \( \large B\), une relation \( \large R\) de \( \large A\) vers \( \large B\) est une partie de \( \large A \times B\) :

 

$$ \large R \subseteq A \times B $$

 

Cela signifie qu'une relation est constituée de couples ordonnés sélectionnés \((a,b)\), où \( \large a \in A\) et \( \large b \in B\).

 

 

Exemples

• Relation inférieur à : \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a < b\}\).
• Relation d'égalité : \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a = b\}\).
• Divisibilité : \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \text{ divise } b\}\).

 

 

Propriétés des relations

 

Réflexive

Une relation est réflexive si chaque élément est en relation avec lui-même :

 

$$ \large (a,a) \in R \quad \text{pour tout } a \in A $$

 

Exemple :

 

Soit \( \large A = \{1,2,3\}\) et la relation \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}\).

Cette relation est réflexive car tous les éléments sont liés à eux-mêmes.

 

 

Symétrique

Une relation est symétrique si elle fonctionne dans les deux sens :

 

$$ \large (a,b) \in R \;\Rightarrow\; (b,a) \in R $$

 

Exemple :

 

Soit \( \large A = \{\text{Anna}, \text{Bo}\}\) et la relation \( \large R = \{(\text{Anna},\text{Bo}),(\text{Bo},\text{Anna})\}\).

Cela peut être interprété comme la relation “est marié avec” et est symétrique, car si Anna est mariée avec Bo, alors Bo est aussi marié avec Anna.

 

 

Antisymétrique

Une relation est antisymétrique si les deux couples ne peuvent exister que lorsque les éléments sont identiques :

 

$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,a) \in R \;\Rightarrow\; a=b $$

 

Exemple :

 

Soit \( \large A = \{1,2,3\}\) et la relation \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\).

Ici, il n'existe pas de couple à la fois \((1,2)\) et \((2,1)\), donc la relation est antisymétrique.

 

 

Transitive

Une relation est transitive si elle peut être “enchaînée” :

 

$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,c) \in R \;\Rightarrow\; (a,c) \in R $$

 

Exemple :

 

Soit \( \large A = \{1,2,3\}\) et la relation \( \large R = \{(1,2),(2,3),(1,3)\}\).

Ici, la transitivité est respectée, car à partir de \((1,2)\) et \((2,3)\) suit aussi \((1,3)\).

 

 

Exemple : relation d'équivalence

Une relation qui est réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence. Elle divise un ensemble en classes d'équivalence, où tous les éléments sont liés entre eux.

 

Exemple : La relation "avoir le même reste en divisant par 3" sur \( \large \mathbb{Z}\) :

 

$$ \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \equiv b \pmod{3}\} $$

 

Cela divise \( \large \mathbb{Z}\) en trois classes : nombres donnant reste 0, reste 1 et reste 2.

 

 

Importance et applications

Les relations sont fondamentales car elles décrivent comment les objets peuvent être reliés. Elles sont utilisées notamment dans :

 

• Graphes, où les arêtes sont des relations entre les nœuds.
• Bases de données, où les tables peuvent être vues comme des relations entre champs de données.
• Logique mathématique, où les relations expriment des liens entre des énoncés.

 

Comprendre les relations est une étape importante pour travailler avec les fonctions, qui sont précisément des relations spéciales.