Applications des produits cartésiens et des relations

Les produits cartésiens et les relations ne sont pas seulement des concepts théoriques, mais ils ont également un large éventail d'applications pratiques en mathématiques, en informatique et dans les problèmes quotidiens.

 

 

Systèmes de coordonnées

Le système de coordonnées classique à deux dimensions est basé sur le produit cartésien. Si nous prenons deux ensembles de nombres, par exemple \( \large \mathbb{R} \times \mathbb{R}\), nous obtenons le plan, où chaque point est représenté par un couple ordonné \((x,y)\).

 

Exemple : Le point \( \large (3,5)\) représente les coordonnées \( \large x=3\) et \( \large y=5\) dans le plan.

 

 

Graphes et réseaux

Un graphe peut être vu comme une relation sur un ensemble de sommets.

Si \( \large V\) est l'ensemble des sommets, une arête peut être décrite comme un élément de \( \large V \times V\). L'ensemble des arêtes \( \large E\) est donc une relation qui indique quels sommets sont connectés.

 

Exemple : Si \( \large V = \{\text{A},\text{B},\text{C}\}\) et \( \large E = \{(A,B),(B,C)\}\), cela signifie qu'il y a une connexion de A à B et de B à C.

 

 

Bases de données

Dans les bases de données, une table représente une relation. Si nous avons un ensemble de clients et un ensemble de produits, nous pouvons définir une relation qui montre quels clients ont commandé quels produits.

 

Exemple : Si \( \large K = \{\text{Ida}, \text{Bo}\}\) et \( \large V = \{101, 102\}\), une relation peut être \( \large R = \{(\text{Ida},101),(\text{Bo},102),(\text{Bo},101)\}\).

Cela signifie qu'Ida a commandé le produit 101, tandis que Bo a commandé à la fois 101 et 102.

 

 

Logique mathématique

Les relations sont utilisées en logique pour exprimer des liens entre des énoncés. Par exemple, “l'implication” peut être vue comme une relation entre deux valeurs de vérité.

 

Exemple : Dans l'ensemble des valeurs de vérité \( \large \{\text{vrai}, \text{faux}\}\), l'implication \( \large p \Rightarrow q\) peut être vue comme une relation qui n'est fausse que dans le cas \( \large (p=\text{vrai}, q=\text{faux})\).

 

 

Combinatoire et probabilité

Lorsqu'on calcule des combinaisons possibles, par exemple en théorie des probabilités, les produits cartésiens sont utilisés pour décrire tous les résultats possibles.

 

Exemple : Si l'on lance un dé \( \large T = \{1,2,3,4,5,6\}\) et qu'on fait tourner une roue avec trois sections \( \large H = \{A,B,C\}\), l'espace des résultats est :

 

$$ \large T \times H = \{(1,A),(1,B),(1,C),\ldots,(6,A),(6,B),(6,C)\} $$

 

Ici, il y a \( \large 6 \times 3 = 18\) résultats possibles.

 

 

Importance

Les produits cartésiens et les relations servent de lien entre l'abstrait et le concret.

Ils fournissent aux mathématiques un cadre formel pour décrire les connexions entre les objets, et ils sont en même temps des outils indispensables dans la technologie moderne, l'informatique et les statistiques.