Paires ordonnées et tuples

Les couples ordonnés et les tuples sont des concepts fondamentaux de la théorie des ensembles et de l'informatique.

Ils décrivent comment plusieurs éléments peuvent être regroupés lorsque l'ordre a de l'importance. C'est une différence importante par rapport aux ensembles ordinaires, où l'ordre n'a pas d'importance.

 

 

Couple ordonné

Un couple ordonné est un ensemble de deux éléments, écrit \( \large (a,b)\). Ici, l'ordre compte : \( \large (a,b) \neq (b,a)\), sauf si \( \large a = b\).

 

Exemples :

 

• \( \large (1,2) \neq (2,1)\)
• \( \large (x,y) \) et \( \large (y,x)\) sont différents si \( \large x \neq y\).

 

Les couples ordonnés sont utilisés pour décrire des coordonnées dans le plan, par exemple le point \( \large (3,5)\) dans un système de coordonnées.

 

 

Tuples

Un tuple est une généralisation du couple ordonné à plusieurs éléments. Un 3-tuple a la forme \( \large (a,b,c)\), un 4-tuple a la forme \( \large (a,b,c,d)\), etc.

 

Exemples :

 

• \( \large (1,2,3)\) est un 3-tuple.
• \( \large (x,y,z)\) peut décrire un point dans l'espace \( \large \mathbb{R}^3\).
• \( \large (nom, âge, ville)\) peut être un tuple dans une base de données.

 

 

Différence entre tuples et ensembles

Il est important de distinguer les ensembles des tuples :

 

• Dans un ensemble, l'ordre n'a pas d'importance : \( \large \{1,2\} = \{2,1\}\).
• Dans un tuple, l'ordre est essentiel : \( \large (1,2) \neq (2,1)\).
• Dans un ensemble, les répétitions ne comptent pas, mais dans un tuple, on peut avoir par exemple \( \large (a,a)\).

 

 

Importance et applications

Les couples ordonnés et les tuples sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques et de l'informatique :

 

• Coordonnées en géométrie (\( \large (x,y)\), \( \large (x,y,z)\)).
• Produits cartésiens (\( \large A \times B\) sont constitués de couples ordonnés).
• Graphes, où les arêtes peuvent être décrites comme des couples ordonnés de nœuds.
• Bases de données, où les lignes peuvent être considérées comme des tuples.

 

Les tuples offrent ainsi une manière flexible de structurer l'information, où l'ordre et le nombre d'éléments ont de l'importance.