Relaciones como subconjuntos de productos cartesianos

Una relación describe una conexión entre elementos de uno o más conjuntos. En la teoría de conjuntos, una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano.

 

 

Definición

Si tenemos dos conjuntos \( \large A\) y \( \large B\), una relación \( \large R\) de \( \large A\) a \( \large B\) es un subconjunto de \( \large A \times B\):

 

$$ \large R \subseteq A \times B $$

 

Esto significa que una relación consiste en pares ordenados seleccionados \((a,b)\), donde \( \large a \in A\) y \( \large b \in B\).

 

 

Ejemplos

• Relación menor que: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a < b\}\).
• Relación de igualdad: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a = b\}\).
• Divisibilidad: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \text{ divide a } b\}\).

 

 

Propiedades de las relaciones

 

Reflexiva

Una relación es reflexiva si cada elemento está en relación consigo mismo:

 

$$ \large (a,a) \in R \quad \text{para todo } a \in A $$

 

Ejemplo:

 

Sea \( \large A = \{1,2,3\}\) y la relación \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}\).

Esta relación es reflexiva porque todos los elementos están relacionados consigo mismos.

 

 

Simbólica

Una relación es simétrica si funciona en ambos sentidos:

 

$$ \large (a,b) \in R \;\Rightarrow\; (b,a) \in R $$

 

Ejemplo:

 

Sea \( \large A = \{\text{Anna}, \text{Bo}\}\) y la relación \( \large R = \{(\text{Anna},\text{Bo}),(\text{Bo},\text{Anna})\}\).

Esto puede interpretarse como la relación “está casado con” y es simétrica, porque si Anna está casada con Bo, entonces Bo también está casado con Anna.

 

 

Antisimétrica

Una relación es antisimétrica si solo puede suceder que ambos pares existan cuando los elementos son iguales:

 

$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,a) \in R \;\Rightarrow\; a=b $$

 

Ejemplo:

 

Sea \( \large A = \{1,2,3\}\) y la relación \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\).

Aquí no hay un par con \((1,2)\) y \((2,1)\) al mismo tiempo, por lo que la relación es antisimétrica.

 

 

Transitiva

Una relación es transitiva si puede “encadenarse”:

 

$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,c) \in R \;\Rightarrow\; (a,c) \in R $$

 

Ejemplo:

 

Sea \( \large A = \{1,2,3\}\) y la relación \( \large R = \{(1,2),(2,3),(1,3)\}\).

Aquí se cumple la transitividad, porque de \((1,2)\) y \((2,3)\) también sigue \((1,3)\).

 

 

Ejemplo: relación de equivalencia

Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se llama relación de equivalencia. Divide un conjunto en clases de equivalencia, donde todos los elementos están relacionados entre sí.

 

Ejemplo: La relación "tener el mismo resto al dividir entre 3" en \( \large \mathbb{Z}\):

 

$$ \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \equiv b \pmod{3}\} $$

 

Esto divide \( \large \mathbb{Z}\) en tres clases: números con resto 0, resto 1 y resto 2.

 

 

Importancia y aplicaciones

Las relaciones son fundamentales porque describen cómo los objetos pueden conectarse. Se utilizan, entre otros, en:

 

• Grafos, donde las aristas son relaciones entre nodos.
• Bases de datos, donde las tablas pueden verse como relaciones entre campos de datos.
• Lógica matemática, donde las relaciones expresan conexiones entre proposiciones.

 

Comprender las relaciones es un paso importante para trabajar con funciones, que son precisamente relaciones especiales.