Udfaldsrum og hændelser
Et udfaldsrum er mængden af alle mulige udfald i et forsøg.
- Møntkast: \(\Omega = \{\text{krone, plat}\}\)
- Terning: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Hændelser
En hændelse er et eller flere udfald fra udfaldsrummet.
- At slå en 4 med en terning: \(\{4\}\)
- At slå et lige tal: \(\{2,4,6\}\)
Man taler også om særlige hændelser:
- Umulig hændelse: f.eks. at slå \(8\) med en terning.
- Sikker hændelse: f.eks. at slå under \(7\) med en terning.
Jævnt udfaldsrum
Man taler om et jævnt udfaldsrum i de tilfælde, hvor alle udfald er lige sandsynlige.
Det kunne f.eks. være en terning.
Her er udfaldsrummet \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), og der er lige stor sandsynlighed for dem alle.
Sandsynligheden for at slå en sekser er:
\(\large \tfrac{1}{6}\) eller en ud af seks
Hvis hændelsen er at slå et ulige tal, er de gunstige udfald \(\{1,3,5\}\).
Sandsynligheden er:
$$ \large\tfrac{3}{6} \Leftrightarrow \tfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0,5 \Leftrightarrow 50\% $$
Ikke-jævnt udfaldsrum
I nogle forsøg er sandsynlighederne ikke ens. Her taler man om et ikke-jævnt udfaldsrum.
Et eksempel er Lotto, hvor sandsynligheden for at vinde er meget mindre end sandsynligheden for at tabe.
To terninger
Sandsynligheden for at slå en sekser med én terning er \(\tfrac{1}{6}\).
Men hvad nu hvis man har to terninger og ønsker sandsynligheden for mindst én sekser?
Der er i alt \(6 \times 6 = 36\) mulige udfald.
De gunstige udfald kan vises i et skema, hvor den første terning er den vandrette akse og den anden den lodrette:
Gunstige udfald
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | X | |||||
| 2 | X | |||||
| 3 | X | |||||
| 4 | X | |||||
| 5 | X | |||||
| 6 | X | X | X | X | X | X |
Som du kan se, er der sat kryds i alle de udfald, der har mindst en sekser. Der er 11 i alt.
Det er fristende at tro, at der er 12 gunstige udfald (6 for hver terning), men udfaldet hvor begge er seksere tæller kun én gang. Det er vigtigt at huske!
Sandsynligheden bliver derfor:
$$ \large \tfrac{11}{36} \approx 0,30 = 30\% $$
Hvis hændelsen i stedet var at slå to seksere, er der kun 1 gunstigt udfald:
$$ \large \tfrac{1}{36} \approx 0,0277 = 2,77\% $$
Sammenfatning
- Udfaldsrum = alle mulige udfald.
- Hændelse = et eller flere udfald.
- Sandsynlighed = andelen af gunstige udfald i forhold til alle mulige udfald.
- Med flere terninger eller forsøg vokser udfaldsrummet hurtigt.