Regneregler for hændelser

Når man arbejder med sandsynlighed, er der nogle grundlæggende regneregler for hændelser, som bruges igen og igen.

Hvis sandsynligheden for en hændelse er $P(A)$, så er sandsynligheden for, at den ikke sker:

$$ P(\text{ikke A}) = 1 - P(A) $$

Eksempel:

Sandsynligheden for at slå en sekser med en terning er $P(A) = \tfrac{1}{6}$.

Sandsynligheden for ikke at slå en sekser er $1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$.

Hvis to hændelser ikke kan ske samtidig (de er adskilte), gælder:

$$ P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B) $$

Eksempel:

Ved et møntkast er $P(\text{krone}) = \tfrac{1}{2}$ og $P(\text{plat}) = \tfrac{1}{2}$.

Sandsynligheden for at få enten krone eller plat er $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$.

Hvis to hændelser kan ske samtidig, skal man huske at trække overlap fra:

$$ P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ og } B) $$

Eksempel:

I et kortspil er sandsynligheden for at trække et hjerterkort $P(A)$ og et billedkort $P(B)$.

Et hjerter billedkort tæller med i begge grupper, så man skal trække det fra én gang.

Hvis to hændelser er uafhængige, gælder:

$$ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) $$

Eksempel:

Sandsynligheden for at slå en sekser med en terning er $\tfrac{1}{6}$.

Hvis man slår to gange, er sandsynligheden for at få to seksere i træk:

$$ \large \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36} $$

Nogle gange afhænger sandsynligheden for én hændelse af, at en anden allerede er sket. Det kaldes betinget sandsynlighed:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \text{ og } B)}{P(B)} $$

Eksempel:

Hvis du trækker to kort efter hinanden fra et kortspil uden at lægge tilbage:

Sandsynligheden for at det første er et es er $\tfrac{4}{52}$.

Hvis det sker, er der kun 51 kort tilbage, så sandsynligheden for endnu et es er $\tfrac{3}{51}$.

Her afhænger sandsynligheden for det andet kort af, hvad der skete i det første træk.

Regel	Formel	Betingelse
Komplement	$$ P(\text{ikke A}) = 1 - P(A) $$	-
Addition	$$ P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B) $$	Hvis A og B ikke kan ske samtidig
Generaliseret addition	$$ P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ og } B) $$	Hvis A og B kan overlappe
Multiplikation	$$ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) $$	Hvis A og B er uafhængige
Betinget sandsynlighed	$$ P(A\|B) = \tfrac{P(A \text{ og } B)}{P(B)} $$	-