Uligheder med brøker

Når man arbejder med uligheder, hvor den ubekendte står i en brøk, skal man være ekstra opmærksom. Især fordi nævneren aldrig må være 0, og fordi brøken kan skifte fortegn afhængigt af tællerens og nævnerens værdier.

Eksempel 1

Vi ser på uligheden:

$$ \large \frac{1}{x} > 0 $$

Nævneren må ikke være 0, altså $ \large x \neq 0 $.

For $ \large x = -1 $:

$ \large \frac{1}{-1} = -1 \quad$ Ikke større end 0.

For $ \large x = 1 $:

$ \large \frac{1}{1} = 1 \quad$ Større end 0 = intervallet gælder.

Løsningen er derfor:

$$ \large x > 0 $$

Eksempel 2

Nu ser vi på:

$$ \large \frac{x}{x-1} < 0 $$

Nævneren må ikke være 0, altså $ \large x \neq 1 $.

For $ \large x = -1 $:

$ \large \frac{-1}{-1-1} = \frac{-1}{-2} = \tfrac{1}{2} \quad$ Ikke mindre end 0.

For $ \large x = 0 $:

$ \large \frac{0}{0-1} = 0 $ Ikke mindre end 0.

For $ \large x = 2 $:

$ \large \frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 \quad$ Ikke mindre end 0.

For $ \large x = \tfrac{1}{2} $:

$ \large \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}-1} = \frac{0,5}{-0,5} = -1 \quad$ Mindre end 0 = intervallet gælder.

Løsningen er derfor:

$$ \large 0 < x < 1 $$

Eksempel 3

En lidt mere kompleks ulighed:

$$ \large \frac{x+1}{x-2} \geq 0 $$

Nævneren må ikke være 0, altså $ \large x \neq 2 $.

Tælleren giver roden $ \large x = -1 $. Nævneren giver grænsen $ \large x = 2 $. Tallinjen deles i tre intervaller, som vi undersøger:

For $ \large x = -2 $:

$ \large \frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} = \tfrac{1}{4} \geq 0 \quad$ Sandt.

For $ \large x = 0 $:

$ \large \frac{0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} = -\tfrac{1}{2} \quad$ Ikke større end eller lig med 0.

For $ \large x = 3 $:

$ \large \frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4 \geq 0 \quad$ Sandt.

Løsningen er derfor:

$$ \large x \leq -1 \quad \text{eller} \quad x > 2 $$

Opsummering

Ved uligheder med brøker skal man altid huske, at nævneren ikke må være 0.
Brøken skifter fortegn, når enten tæller eller nævner skifter fortegn.
Man finder først rødder og grænsepunkter og tester derefter de intervaller, tallinjen deles i.
Løsningen kan være ét eller flere intervaller, afhængigt af fortegnene.