Førstegradsuligheder
En førstegradsulighed ligner en førstegradsligning, men i stedet for et lighedstegn har vi et ulighedstegn.
Det betyder, at løsningen ikke er ét bestemt tal, men ofte et helt interval af værdier.
Eksempler
En simpel førstegradsulighed kunne være:
$$ \large 2x + 3 < 7 $$
Her leder vi efter de værdier af \( \large x \), som gør venstresiden mindre end 7.
Metode
Man løser en førstegradsulighed næsten på samme måde som en førstegradsligning: vi isolerer den ubekendte ved at udføre de samme regneregler på begge sider.
$$ \large 2x + 3 < 7 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 2x < 7 - 3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 2x < 4 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x < 2 $$
Altså er løsningen alle værdier af \( \large x \), der er mindre end 2.
Vigtigt om fortegn
En vigtig regel for uligheder er, at når man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal ulighedstegnet vendes.
Eksempel:
$$ \large -3x > 9 $$
Vi dividerer med \( \large -3 \), men husk at vende tegnet:
$$ \large x < -3 $$
Flere eksempler
Eksempel 1:
$$ \large 5x - 7 \geq 3 $$
$$ \large 5x \geq 10 \quad \Leftrightarrow \quad x \geq 2 $$
Eksempel 2:
$$ \large 4 - 2x \leq 10 $$
$$ \large -2x \leq 6 $$
Dividerer vi med \( \large -2 \), skal vi vende tegnet:
$$ \large x \geq -3 $$
Kontrol
Man kan altid kontrollere en ulighed ved at indsætte en værdi fra løsningen og en værdi udenfor løsningen.
Hvis løsningen var \( \large x < 2 \):
Prøv \( \large x = 0 \):
\( \large 2\cdot 0 + 3 = 3 < 7 \quad \). Sandt.
Prøv \( \large x = 3 \):
\( \large 2\cdot 3 + 3 = 9 < 7 \quad \). Falsk.
Opsummering
- En førstegradsulighed minder om en førstegradsligning, men løsningen er ofte et interval af værdier.
- Man løser ved at isolere den ubekendte trin for trin.
- Ved multiplikation eller division med et negativt tal skal ulighedstegnet vendes.
- Man kan altid kontrollere resultatet ved at indsætte prøvetal.