Parallelogram

Et parallelogram er en firkant, hvor de modstående sider er lige lange og parallelle.

Figuren kan opfattes som et “skævt rektangel”.

 

Parallelogram

 

Der er ingen rette vinkler i et parallelogram, men vinklerne overfor hinanden er altid lige store. Summen af to nabovinkler er 180°.

 

$$ \large \angle A + \angle B = 180^\circ $$

 

En særlig variation af parallelogrammet kaldes en rombe. Her er alle fire sider lige lange. På samme måde som et ligesidet rektangel kaldes et kvadrat.

 

Diagonalernes skæringspunkt i et parallelogram er samtidig deres halveringspunkt.

Det betyder, at diagonalerne deler hinanden i to lige store dele, men de står ikke nødvendigvis vinkelret på hinanden.

 

Egenskaber, der kendetegner et parallelogram

  • Modstående sider er lige lange.
  • Modstående sider er parallelle.
  • Modstående vinkler er lige store.
  • Nabovinkler danner tilsammen 180°.
  • Diagonalernes skæringspunkt er også deres halveringspunkt.
  • Et parallelogram kan opdeles i to kongruente trekanter langs en diagonal.

 

Når man skal regne på et parallelogram, er det ofte nødvendigt at bruge trigonometri og beregninger med trekanter.

 

 

Regnemaskine

Formler

Side a

$$ a=\frac{Area}{h} $$

$$ a=\frac{Area}{b\cdot sin(A)} $$

$$ a=\frac{P-(2\cdot b)}{2} $$

$$ a = \begin{cases} \sqrt{d_1^2 - h^2} + \sqrt{b^2 - h^2}, & A < 90^\circ \\[6pt] \sqrt{d_1^2 - h^2} - \sqrt{b^2 - h^2}, & A > 90^\circ \end{cases} $$

$$ a = \begin{cases} \sqrt{d_2^2 - h^2} - \sqrt{b^2 - h^2}, & A > 90^\circ \\[6pt] \sqrt{d_2^2 - h^2} + \sqrt{b^2 - h^2}, & A < 90^\circ \end{cases} $$

Side b

$$ b=\frac{h}{sin(A)} $$

$$ b=\frac{Area}{a\cdot sin(A)} $$

$$ b=\frac{P-(2\cdot a)}{2} $$

$$ b = \sqrt{\Bigl(\sqrt{d_1^2 - h^2} - a\Bigr)^2 + h^2} $$

$$ b = \sqrt{\Bigl(a - \sqrt{d_2^2 - h^2}\Bigr)^2 + h^2} $$

Højde

$$ h = b \cdot \sin(A) $$

$$ h = \frac{\text{Area}}{a} $$

Diagonal 1

$$ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(A)} $$

Diagonal 2

$$ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(A)} $$

Vinkel A

$$ \angle A=180-B $$

$$ \angle A=sin^{-1}\biggl(\frac{h}{b}\biggr) $$

$$ \angle A = sin^{-1}\Bigl(\tfrac{\text{Area}}{a \cdot b}\Bigr) $$

$$ \angle A = cos^{-1}\Bigl(\tfrac{a^2 + b^2 - d_1^2}{2ab}\Bigr) $$

$$ \angle A = cos^{-1}\Bigl(\tfrac{d_2^2 - a^2 - b^2}{2ab}\Bigr) $$

Vinkel B

$$ B = 180 - A $$

$$ B = \sin^{-1}\!\Bigl(\tfrac{h}{a}\Bigr) $$

$$ B = \sin^{-1}\!\Bigl(\tfrac{\text{Area}}{a \cdot b}\Bigr) $$

Areal

$$ A = a \cdot h $$

$$ A= a \cdot b \cdot \sin(\angle A) $$

Omkreds

$$ P = 2a + 2b $$

$$ P=2\cdot\biggl(\frac{h}{sin(A)}+\frac{Area}{h}\biggr) $$