Relationen als Teilmengen kartesischer Produkte
Eine Relation beschreibt einen Zusammenhang zwischen Elementen in einer oder mehreren Mengen. In der Mengenlehre wird eine Relation als Teilmenge eines kartesischen Produkts definiert.
Definition
Wenn wir zwei Mengen \( \large A\) und \( \large B\) haben, ist eine Relation \( \large R\) von \( \large A\) nach \( \large B\) eine Teilmenge von \( \large A \times B\):
$$ \large R \subseteq A \times B $$
Das bedeutet, dass eine Relation aus ausgewählten geordneten Paaren \((a,b)\) besteht, wobei \( \large a \in A\) und \( \large b \in B\).
Beispiele
- Kleiner-als-Relation: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a < b\}\).
- Gleichheitsrelation: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a = b\}\).
- Teilbarkeit: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \text{ teilt } b\}\).
Eigenschaften von Relationen
Reflexiv
Eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element zu sich selbst in Relation steht:
$$ \large (a,a) \in R \quad \text{für alle } a \in A $$
Beispiel:
Sei \( \large A = \{1,2,3\}\) und die Relation \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}\).
Diese Relation ist reflexiv, weil alle Elemente zu sich selbst in Beziehung stehen.
Symmetrisch
Eine Relation ist symmetrisch, wenn sie in beide Richtungen gilt:
$$ \large (a,b) \in R \;\Rightarrow\; (b,a) \in R $$
Beispiel:
Sei \( \large A = \{\text{Anna}, \text{Bo}\}\) und die Relation \( \large R = \{(\text{Anna},\text{Bo}),(\text{Bo},\text{Anna})\}\).
Dies kann als die Relation „ist verheiratet mit“ interpretiert werden und ist symmetrisch, weil wenn Anna mit Bo verheiratet ist, dann ist auch Bo mit Anna verheiratet.
Antisymmetrisch
Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn beide Paare nur dann existieren können, wenn die Elemente gleich sind:
$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,a) \in R \;\Rightarrow\; a=b $$
Beispiel:
Sei \( \large A = \{1,2,3\}\) und die Relation \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\).
Hier gibt es kein Paar mit sowohl \((1,2)\) als auch \((2,1)\), daher ist die Relation antisymmetrisch.
Transitiv
Eine Relation ist transitiv, wenn sie „verkettet“ werden kann:
$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,c) \in R \;\Rightarrow\; (a,c) \in R $$
Beispiel:
Sei \( \large A = \{1,2,3\}\) und die Relation \( \large R = \{(1,2),(2,3),(1,3)\}\).
Hier gilt die Transitivität, denn aus \((1,2)\) und \((2,3)\) folgt auch \((1,3)\).
Beispiel: Äquivalenzrelation
Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation. Sie teilt eine Menge in Äquivalenzklassen, in denen alle Elemente miteinander in Beziehung stehen.
Beispiel: Die Relation „hat denselben Rest bei Division durch 3“ auf \( \large \mathbb{Z}\):
$$ \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \equiv b \pmod{3}\} $$
Dies teilt \( \large \mathbb{Z}\) in drei Klassen: Zahlen mit Rest 0, Rest 1 und Rest 2.
Bedeutung und Anwendungen
Relationen sind grundlegend, weil sie beschreiben, wie Objekte verbunden werden können. Sie werden unter anderem in folgenden Bereichen verwendet:
- Graphen, bei denen Kanten Relationen zwischen Knoten sind.
- Datenbanken, bei denen Tabellen als Relationen zwischen Datenfeldern betrachtet werden können.
- Mathematische Logik, bei der Relationen Zusammenhänge zwischen Aussagen ausdrücken.
Das Verständnis von Relationen ist ein wichtiger Schritt, um mit Funktionen zu arbeiten, die genau spezielle Relationen sind.