Rechenregeln für Brüche
Bruch kürzen
Wenn wir unseren Bruch von vorher nehmen = \(\large \frac{2}{8}\)
Wir haben berechnet, dass es dasselbe ist wie 25 %, was wir normalerweise ein Viertel nennen = \(\large \frac{1}{4}\)
Die beiden Brüche sind also gleich, auch wenn sie nicht gleich aussehen. Das liegt daran, dass man einen Bruch kürzen kann.
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilt.
In unserem Fall wird durch 2 geteilt:
$$ \large \frac{2}{8} \Leftrightarrow \frac{2:2}{8:2}\;\Leftrightarrow \frac{1}{4} $$
Nicht alle Brüche können gekürzt werden. Zum Beispiel ist es nicht möglich, einen gemeinsamen Teiler für \(\large \frac{7}{16}\) zu finden.
Ein Beispiel mit größeren Zahlen:
$$ \large \frac{15}{25} \Leftrightarrow \frac{15:5}{25:5}\;\Leftrightarrow \frac{3}{5} $$
Bruch erweitern
So wie man einen Bruch kürzen kann, kann man ihn auch erweitern.
Die Regel ist dieselbe, aber anstatt durch eine Zahl zu teilen, multipliziert man mit einer Zahl.
Wenn wir unseren Bruch auf Vierundzwanzigstel erweitern wollen, müssen wir Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren (weil 8 mal 3 = 24).
$$ \large \frac{2}{8} \Leftrightarrow \frac{2 \cdot 3}{8 \cdot 3}\;\Leftrightarrow \frac{6}{24} $$
Alle Brüche können erweitert werden, aber nicht zu beliebigen Nennern. Sechzehntel können nicht zu Zwanzigsteln werden. Am nächsten liegt es, mit 2 zu multiplizieren, was Zweiunddreißigstel ergibt. Mit 3 werden es Achtundvierzigstel.
$$ \large \frac{7}{16} \Leftrightarrow \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3}\;\Leftrightarrow \frac{21}{48} $$
Einen Bruch zu erweitern entspricht dem, den Nenner zu einem Vielfachen der ursprünglichen Zahl zu machen. Dies wird oft verwendet, um einen gemeinsamen Nenner zu finden.
Gemeinsamer Nenner
Wenn du addieren oder subtrahieren willst, musst du immer zuerst einen gemeinsamen Nenner finden. Wenn du zum Beispiel Folgendes berechnen möchtest, kann der gemeinsame Nenner 12 sein, weil sowohl 3 als auch 4 in 12 hineingehen.
$$ \large \frac{2}{3} + \frac{1}{4} $$
Wenn es dir schwerfällt, einen gemeinsamen Nenner zu finden, kannst du die beiden Nenner miteinander multiplizieren. Das Ergebnis kann als gemeinsamer Nenner verwendet werden \(\large 3 \cdot 4 = 12\)
Die Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Der erste Bruch wird mit 4 multipliziert und der zweite Bruch wird mit 3 multipliziert. Danach hast du zwei Brüche mit demselben Nenner.
$$ \large \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $$
$$ \large \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $$
Jetzt kannst du die beiden Brüche zusammenrechnen.
$$ \large \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12} $$
Oft wählt man den kleinsten gemeinsamen Nenner, da er die einfachsten Brüche ergibt, mit denen man weiterarbeiten kann.
Addition und Subtraktion
Denk immer an den gemeinsamen Nenner beim Addieren und Subtrahieren
Addition:
$$ \large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $$
Subtraktion:
$$ \large \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $$
Beim Addieren spielt die Reihenfolge keine Rolle. \( \large a + c\) ist dasselbe wie \( \large c + a\)
Aber beim Subtrahieren gilt dieselbe Regel wie bei allen anderen Minusaufgaben. Die Reihenfolge muss stimmen!
Multiplizieren und Dividieren
Du brauchst keinen gemeinsamen Nenner beim Multiplizieren und Dividieren
Brüche multiplizieren:
$$ \large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$
Beispiel: \(\large \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
Brüche dividieren:
$$ \large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$
Beispiel: \(\large \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}\)
Beachte, dass beim Dividieren der zweite Bruch umgedreht und mit dem ersten multipliziert wird.
Beim Multiplizieren spielt die Reihenfolge keine Rolle. \(\large a \cdot c\) ist dasselbe wie \(\large c \cdot a\)
Aber beim Dividieren ist die Reihenfolge wichtig!
Es ist der zweite Bruch, der umgedreht wird. Den ersten Bruch darfst du niemals umdrehen, und deshalb ist es wichtig, dass du die Aufgabe in der richtigen Reihenfolge aufschreibst.