Modstridsbevis

Et modstridsbevis er en metode, hvor man antager det modsatte af det, man vil vise, og derefter viser, at denne antagelse fører til en selvmodsigelse. Når en modstrid opstår, betyder det, at antagelsen ikke kan være sand, og dermed må den oprindelige påstand være korrekt.

 

Metoden er nyttig, når et direkte bevis er vanskeligt eller uoverskueligt. Ofte kan en modstrid tydeliggøre, hvorfor en påstand må gælde, og teknikken bruges i mange af matematikens mest berømte beviser.

 

Fremgangsmåde

Et modstridsbevis kan beskrives i tre trin:

 

1. Antag, at den påstand du vil bevise, er falsk.
2. Brug logiske regler, definitioner og tidligere resultater til at udlede konsekvenser af antagelsen.
3. Vis, at du når frem til en selvmodsigelse, f.eks. at noget samtidig må være både sandt og falsk.

 

 

Eksempel 1

Vi vil bevise, at der ikke findes et ulige tal, som er deleligt med 2. Antag modsat, at et tal \( \large n \) er ulige og deleligt med 2. Da kan vi skrive:

 

$$ \large n = 2a+1 \quad \text{og} \quad n = 2b $$

 

Her er \( \large n \) skrevet på to måder: både som ulige og som lige. Det kan ikke lade sig gøre, da de to former gensidigt udelukker hinanden. Dermed er antagelsen en modstrid, og konklusionen er, at ingen ulige tal er delelige med 2.

 

 

Eksempel 2

Et klassisk modstridsbevis er, at kvadratroden af 2 er irrational. Antag modsat, at \( \large \sqrt{2} \) er rational, altså at den kan skrives som en brøk:

 

$$ \large \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$

 

hvor \( \large p \) og \( \large q \) er heltal uden fælles faktorer. Omskrives dette, får vi:

 

$$ \large 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2 $$

 

Dermed er \( \large p^2 \) lige, hvilket betyder, at \( \large p \) må være lige. Lad \( \large p = 2k \). Indsæt i ligningen:

 

$$ \large (2k)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2k^2 $$

 

Nu følger, at også \( \large q \) er lige. Men så har \( \large p \) og \( \large q \) en fælles faktor 2, hvilket er en modstrid til antagelsen om, at brøken var forkortet. Dermed kan \( \large \sqrt{2} \) ikke være rational.

 

 

Modstridsbeviser er et af de mest kraftfulde redskaber i matematikken. De bruges ikke blot til at vise talteoretiske resultater, men også i algebra, analyse og logik, hvor en direkte fremgangsmåde kan være umulig. Ved at vende tankegangen på hovedet kan man vise sandheden gennem det umulige.