Direkte bevis

Et direkte bevis er den mest ligefremme bevismetode i matematik. Her udgår man fra de givne forudsætninger og ræsonnerer sig trin for trin frem til den konklusion, man vil vise.

Hvert skridt bygger på kendte regler, definitioner eller tidligere beviste resultater.

Metoden er særlig velegnet, når man arbejder med udsagn af typen "hvis ... så ...".

Man begynder med at antage, at betingelsen er opfyldt, og viser derefter logisk, at konklusionen må følge. På den måde minder et direkte bevis om en kæde af argumenter, hvor hvert led følger naturligt af det foregående.

Fremgangsmåde

Når man laver et direkte bevis, kan man ofte strukturere arbejdet i tre trin:

1. Antag forudsætningerne er sande.
2. Brug definitioner, regler og kendte sætninger til at udlede nye resultater.
3. Fortsæt indtil den påståede konklusion er vist.

Eksempel 1

Vi vil bevise, at summen af to ulige tal altid er lige. Lad tallene være skrevet på formen $ \large 2a+1 $ og $ \large 2b+1 $. Da får vi:

$$ \large (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1) $$

Resultatet kan skrives som 2 gange et helt tal, altså et lige tal. Dermed er udsagnet bevist direkte.

Eksempel 2

Vi vil bevise, at produktet af to lige tal altid er deleligt med 4. Skriv tallene som $ \large 2m $ og $ \large 2n $. Da gælder:

$$ \large (2m)\cdot(2n) = 4mn $$

Da udtrykket kan skrives som 4 gange et helt tal, er det altid deleligt med 4. Dermed er udsagnet bevist ved direkte bevis.

Eksempel 3

Vi vil bevise, at hvis to tal begge er delelige med 3, så er deres sum også delelig med 3. Lad tallene være $ \large 3x $ og $ \large 3y $. Da får vi:

$$ \large 3x + 3y = 3(x+y) $$

Summen er et multiplum af 3 og dermed delelig med 3. Udsagnet er altså bevist direkte.

Direkte beviser giver en klar og intuitiv forståelse af, hvorfor et udsagn er sandt. Metoden er samtidig grundlaget for mange andre bevisteknikker, som bygger videre på den samme tanke: at logiske regler kan forbinde forudsætningerne med konklusionen.