Tredjegradsligning
En tredjegradsligning har den generelle form:
$$ \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
$$ \large a \neq 0 $$
Her er \( \large a, b, c, d \) konstanter, og \( \large x \) er den ubekendte. Fordi den højeste potens er tre, kalder vi det en tredjegradsligning.
Hvordan løser man en tredjegradsligning?
Der findes ikke en enkel løsningsformel, som for andengradsligninger. I stedet bruger man forskellige metoder, alt efter hvordan ligningen ser ud.
1. Find en oplagt rod
Nogle gange kan man gætte en løsning ved at prøve enkle tal, f.eks. \( \large x = -2, -1, 0, 1, 2 \). Hvis det giver 0, har vi fundet en rod.
Eksempel:
$$ \large x^3 - x = 0 $$
Her kan vi sætte \( \large x \) udenfor en parentes:
$$ \large x(x^2 - 1) = 0 $$
Det giver tre løsninger:
$$ \large x = 0 $$
$$ \large x = 1 $$
$$ \large x = -1 $$
2. Polynomiedeling
Hvis man finder en rod, kan man bruge polynomiedeling til at reducere tredjegradsligningen til en andengradsligning. Den kan derefter løses med diskriminanten og løsningsformlen.
Eksempel:
$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $$
Vi gætter \( \large x = 1 \) og indsætter:
$$ \large 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 1 - 6 + 11 - 6 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 0 $$
Altså er \( \large x = 1 \) en rod. Vi dividerer polynomiet med \( \large (x-1) \):
$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \quad : \quad (x - 1) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x^2 - 5x + 6 $$
Nu har vi en andengradsligning:
$$ \large x^2 - 5x + 6 = 0 $$
Den løses med diskriminanten:
$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 25 - 24 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 1 $$
Løsningerne er:
$$ \large x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x = \frac{5 \pm 1}{2} $$
Altså:
$$ \large x = 2 $$
$$ \large x = 3 $$
Sammen med \( \large x = 1 \) har vi tre løsninger.
3. Grafisk metode
Man kan altid tegne grafen for \( \large f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) og aflæse, hvor den skærer x-aksen. Det svarer til at finde rødderne.
En tredjegradsgraf kan have én eller tre reelle rødder. Den har altid mindst én, fordi den går til \( -\infty \) på den ene side og \( +\infty \) på den anden.
Cardanos metode
Der findes faktisk en generel løsningsformel for tredjegradsligninger. Den blev opdaget i 1500-tallet af italienerne Tartaglia og Cardano.
Idéen er først at omskrive ligningen, så der ikke er noget \( \large x^2 \)-led. Dette gøres med en substitution:
$$ \large x = y - \frac{b}{3a} $$
Herefter står man tilbage med en reduceret kubisk ligning på formen:
$$ \large y^3 + py + q = 0 $$
Cardanos formel i praksis
Vi ser på ligningen:
$$ \large x^3 - 6x - 9 = 0 $$
Den er allerede i reduceret form, så vi kan sætte \( \large p = -6 \), \( \large q = -9 \).
Diskriminanten:
$$ \large \Delta = \Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = \Bigl(-\frac{9}{2}\Bigr)^2 + (-2)^3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = \frac{81}{4} - 8 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = \frac{49}{4} $$
\( \large \Delta > 0 \), så der er én reel løsning.
Cardanos formel:
$$ \large y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} \;+\; \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} $$
Indsæt \( \large q = -9 \), \( \large \sqrt{\Delta} = \frac{7}{2} \):
$$ \large y = \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{7}{2}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} - \frac{7}{2}} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large y = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large y = 2 + 1 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large y = 3 $$
Altså er \( \large x = 3 \) en reel rod.
De sidste rødder:
$$ \large x^3 - 6x - 9 = (x-3)(x^2 + 3x + 3) $$
Den kvadratiske faktor giver diskriminant:
$$ \large D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 9 - 12 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = -3 $$
Så de to sidste rødder er komplekse:
$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} $$
Samlet set er løsningerne:
$$ \large x = 3 \quad \text{(reel)} $$
$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} \quad \text{(ikke reelle)} $$
Bemærk: Hvis der er tre reelle løsninger, kan Cardanos formel stadig bruges, men udregningen går gennem komplekse tal, selv om svaret til sidst er reelt. Dette kaldes casus irreducibilis.
Casus irreducibilis – tre reelle rødder
Når \( \large \Delta < 0 \), er der tre reelle rødder. I dette tilfælde kan man bruge en trigonometrisk metode med cosinus.
Eksempel:
$$ \large x^3 - 3x + 1 = 0 $$
Her er \( \large p = -3 \), \( \large q = 1 \).
Vi sætter:
$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$
og finder vinklen ud fra:
$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-q}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{p^3}} $$
Indsæt \( \large p=-3 \), \( \large q=1 \):
$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{(-3)^3}} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{1} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \cos(3\theta) = -\frac{1}{2} $$
Altså er:
$$ \large 3\theta = 120^\circ, \; 240^\circ, \; 480^\circ $$
Dermed:
$$ \large \theta = 40^\circ, \; 80^\circ, \; 160^\circ $$
Nu indsættes i:
$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$
Da \( \large p=-3 \), får vi \( \large 2\sqrt{1} = 2 \), så:
$$ \large x_1 = 2\cos(40^\circ) \approx 1,53 $$
$$ \large x_2 = 2\cos(80^\circ) \approx 0,35 $$
$$ \large x_3 = 2\cos(160^\circ) \approx -1,88 $$
Her ser vi tydeligt tre reelle løsninger uden at gå gennem komplekse tal.
Opsummering
- En tredjegradsligning har formen \( \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \).
- Man kan finde løsninger ved at gætte en rod, faktorisere eller bruge polynomiedeling.
- Grafisk kan man altid se, at der er mindst én reel rod.
- Cardanos formel giver en generel metode, men er teknisk og bruges sjældent i praksis.
- Når \( \large \Delta > 0 \): én reel rod. Når \( \large \Delta = 0 \): flere rødder falder sammen. Når \( \large \Delta < 0 \): tre reelle rødder (casus irreducibilis).
- Ved casus irreducibilis kan man bruge en trigonometrisk cosinus-formel til at finde alle tre rødder.