Førstegradsligning

En førstegradsligning er en ligning, hvor den ubekendte $\large x $ kun optræder i første potens, altså $\large x^1 $. Det betyder, at der ikke må stå $\large x^2$, $\large x^3$ eller højere potenser af $\large x$, og $\large x$ må heller ikke stå i en nævner.

En førstegradsligning kan altid skrives eller omskrives til denne form:

$$ \large ax + b = 0 $$

Når der står $ \large ax$, betyder det i virkeligheden $\large a \cdot x$.

$$ \large ax = a \cdot x $$

Det er ikke sikkert, at din ligning står præcis sådan, når du får en opgave. Den kan fx se sådan ud:

$$ \large 8 + 2x = 16 $$

Eller sådan her:

$$ \large 2(x + 4) = 10 $$

De er begge førstegradsligninger, fordi de kan omskrives til formen $\large ax + b = 0 $.

Eksempel på løsning

Hvis vi tager ligningen:

$$ \large 2(x + 10) = 4x $$

Vi ganger først ind i parentesen:

$$ \large 2 \cdot x + 2 \cdot 10 = 4 \cdot x \Leftrightarrow $$

$$ \large 2x + 20 = 4x $$

Så isolerer vi $\large x $:

$$ \large 2x-2x + 20 = 4x-2x \Leftrightarrow $$

$$ \large 20 = 2x $$

Vi dividerer med $ \large 2$ på begge sider:

$$ \large \frac{20}{2} = \frac{2x}{2} \Leftrightarrow $$

$$ \large 10 = x $$

Resultatet er altså $\large x = 10 $.

Regneregler

Når du løser førstegradsligninger, må du bruge disse regler:

Du må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.
Du må trække det samme tal fra på begge sider.
Du må gange med det samme tal på begge sider.
Du må dividere med det samme tal på begge sider (bare ikke med 0).

Det vigtigste er, at du altid behandler begge sider ens, så ligheden bevares.

Hvad er ikke en førstegradsligning?

For at kende forskel er det godt at se på eksempler, der ikke er førstegradsligninger:

Her indgår $x^2$, så det er en andengradsligning:

$$ \large x^2 + 3x = 0 $$

Her står $\large x$ i nævneren, så det er ikke en førstegradsligning:

$$ \large \tfrac{1}{x} = 2 $$

Hvor mange løsninger?

En førstegradsligning har normalt én løsning, men der findes to særlige situationer:

Ingen løsning:

$$ \large 2x + 3 = 2x + 5 $$

Reduceres til

$$ \large 3 = 5 $$

Som aldrig kan passe.

Uendeligt mange løsninger:

$$ \large 2x + 3 = 2x + 3 $$

Reduceres til

$$ \large 3 = 3 $$

Som altid passer, uanset hvad $ \large x$ er.

Opsummering

En førstegradsligning er en ligning, hvor $\large x$ kun optræder i første potens. De kan altid omskrives til formen $ \large ax + b = 0 $. Du løser dem ved trin for trin at isolere $x$ ved hjælp af regnereglerne. Som regel er der én løsning, men der kan også være ingen eller uendeligt mange.