En andengradsligning kan altid skrives eller omskrives til formen:

 

$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$

 

Det kaldes en andengradsligning, fordi der er et led, hvor \( \large x \) står i anden potens: \( \large ax^2 \).

Hvis \( \large a = 0 \), er det ikke en andengradsligning, fordi \( \large 0x^2 = 0 \), og så forsvinder leddet. Tilbage står en førstegradsligning.

 

Eksempler på andengradsligninger:

 

$$ \large 40 + 2x = 2x^2 $$

$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$

 

De er begge andengradsligninger, fordi de kan omskrives til formen:

 

$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$

 

Hvor \( \large a \neq 0 \).

 

 

Diskriminanten

Det kan være svært at isolere \( \large x \) i en andengradsligning, som man gør med en førstegradsligning.

Derfor bruger vi diskriminanten, som både hjælper os med at finde løsningerne og med at afgøre, hvor mange løsninger der er.

Diskriminanten \( \large D \) findes med denne formel:

 

$$ \large D = b^2 - 4ac $$

 

• Hvis \( \large D > 0 \), er der to løsninger.
• Hvis \( \large D = 0 \), er der en løsning.
• Hvis \( \large D < 0 \), er der ingen løsninger i de reelle tal.

 

Eksempel: Find diskriminanten

Vi skal beregne løsninger til ligningen:

 

$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$

 

Først ganger vi parentesen ud:

 

$$ \large x \cdot x - 5 \cdot x - 14 = 0 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large x^2 - 5x - 14 = 0 $$

 

Her kan vi se, at der er tale om en andengradsligning, så vi finder diskriminanten:

 

$$ \large D = b^2 - 4ac \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 25 - (-56) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 81 $$

 

Diskriminanten er positiv, så der er to løsninger.

 

 

Løsningsformlen

Når vi har diskriminanten, kan vi finde løsningerne med denne formel:

 

$$ \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$

 

\( \large \pm \) er et plus/minus-tegn. Når der er to løsninger, skal vi regne to gange: først med plus og så med minus.

 

Løsning 1 (plus):

 

$$ \large x = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$

$$ \large x = \frac{5 + 9}{2} $$

$$ \large x = 7 $$

 

Løsning 2 (minus):

 

$$ \large x = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$

$$ \large x = \frac{5 - 9}{2} $$

$$ \large x = -2 $$

 

 

Kontrol

Det er altid en god idé at kontrollere resultatet ved at sætte løsningerne ind i den oprindelige ligning:

 

$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$

 

Kontrol af løsning 1:

 

$$ \large x = 7 $$

$$ \large 7(7 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$

$$ \large 49 - 35 - 14 = 0 $$

 

Det er rigtigt.

 

Kontrol af løsning 2:

 

$$ \large x = -2 $$

$$ \large -2(-2 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$

$$ \large 4 - (-10) - 14 = 0 $$

 

Det er rigtigt.

 

 

Særlige cases

Nogle andengradsligninger er lettere at løse end andre, fordi ét af leddene mangler.

 

Når \( \large b = 0 \):

Da får ligningen formen:

 

$$ \large ax^2 + c = 0 $$

 

Vi kan isolere \( \large x^2 \):

 

$$ \large x^2 = -\frac{c}{a} $$

 

Her kan vi tage kvadratroden og finde to løsninger (hvis højresiden er positiv):

 

$$ \large x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} $$

 

 

Når \( \large c = 0 \):

Da får ligningen formen:

 

$$ \large ax^2 + bx = 0 $$

 

Her kan vi sætte \( \large x \) udenfor en parentes:

 

$$ \large x(ax + b) = 0 $$

 

Det giver to løsninger:

 

$$ \large x = 0 \quad \text{eller} \quad x = -\frac{b}{a} $$

 

Denne metode kaldes faktorisering og kan ofte gøre opgaven hurtigere.

 

 

Opsummering

• En andengradsligning har formen \( \large ax^2 + bx + c = 0 \), hvor \( \large a \neq 0 \).
• Diskriminanten \( \large D = b^2 - 4ac \) afgør antallet af løsninger.
• Løsningsformlen er \( \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
• Hvis \( \large D > 0 \), er der to løsninger. Hvis \( \large D = 0 \), er der én løsning. Hvis \( \large D < 0 \), er der ingen reelle løsninger.
• Resultaterne kan altid kontrolleres ved at indsætte dem i den oprindelige ligning.