Særlige grænseværdier
Nogle grænseværdier forekommer så ofte i analysen, at de har fået en særlig status. De bruges som grundlæggende referencepunkter i beviser og beregninger og optræder især i forbindelse med trigonometri, eksponentialfunktioner og logaritmer.
Trigonometriske grænseværdier
En af de vigtigste grænseværdier i hele analysen er:
$$ \large \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
Denne grænseværdi bruges blandt andet til at vise, at sinusfunktionen er differentiabel i nul, og den danner grundlaget for differentialregningen af trigonometriske funktioner.
En nært beslægtet grænseværdi er:
$$ \large \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 $$
Den anvendes ofte sammen med den første ved beregninger af trigonometriske udtryk, hvor både \(\sin x\) og \(\cos x\) indgår.
Eksponential- og logaritmefunktioner
En anden klassisk grænseværdi definerer tallet e, som er grundtallet i de naturlige logaritmer:
$$ \large \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e $$
Den viser, hvordan en bestemt gentagen procentuel vækst nærmer sig en konstant værdi, når antallet af trin bliver meget stort. Denne grænseværdi ligger til grund for eksponentialfunktionen og dens anvendelser i vækstmodeller og finansielle beregninger.
En relateret grænseværdi er:
$$ \large \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$
Begge former beskriver samme sammenhæng mellem diskret og kontinuerlig vækst og bruges ofte omvendt i beviser og udledninger.
Uendelige og uafhængige vækster
Ved at sammenligne funktioner, der vokser mod uendelig, kan man bestemme, hvilken der vokser hurtigst. For eksempel gælder:
$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $$
$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0 $$
Her ser man, at logaritmen vokser meget langsommere end et polynomium, og at selv et stort polynomium til sidst bliver uendeligt meget mindre end en eksponentialfunktion. Disse sammenligninger bruges ofte, når man analyserer væksthastigheder eller bestemmer asymptotisk adfærd.
Betydning i analysen
Særlige grænseværdier fungerer som fundamentale værktøjer i mange beviser og udledninger. De optræder i definitionen af den afledte funktion, i Taylor-rækker, i grænseværdier for sekvenser og i beskrivelser af vækst og konvergens. Kendskab til disse grænseværdier gør det muligt at forstå og beregne mere komplekse udtryk i analysen.