Regneregler for grænseværdier

Når man arbejder med grænseværdier, kan det hurtigt blive besværligt at beregne dem direkte ud fra definitionen. Heldigvis findes der en række simple regneregler, som gør det muligt at finde mange grænseværdier uden lange udledninger. Disse regler minder om de almindelige regneregler, man kender fra algebra.

 

 

Sum og differens

Hvis to funktioner har en grænseværdi i det samme punkt, kan man lægge eller trække deres grænseværdier fra hinanden:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $$

 

Det betyder, at man kan beregne hver grænseværdi for sig og derefter udføre plus- eller minusregningen på resultaterne.

 

 

Produkt

Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Man ganger altså de to grænseværdier sammen, forudsat at begge eksisterer og er endelige.

 

 

Kvotient

For en brøk gælder, at grænseværdien kan findes ved at tage grænseværdien af tæller og nævner hver for sig, så længe nævnerens grænseværdi ikke er nul:

 

$$ \large \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{hvis } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 $$

 

Hvis nævnerens grænseværdi er nul, skal man undersøge udtrykket nærmere, da der kan opstå uendelige grænseværdier eller 0/0-situationer, som kræver omskrivning eller faktorisering.

 

 

Konstant gange funktion

En konstant kan altid trækkes ud foran grænsetegnet:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) $$

 

Dette gør mange udtryk nemmere at håndtere, fordi man kan se bort fra faktorer, der ikke afhænger af x.

 

 

Potens og rødder

Hvis funktionen har en grænseværdi, kan man tage potenser og rødder direkte på resultatet:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right)^n $$

$$ \large \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} $$

 

Disse regler gælder, så længe den resulterende potens eller rod er defineret (for eksempel må man ikke tage kvadratroden af et negativt tal i de reelle tal).

 

 

Sammensatte funktioner

Hvis en funktion består af en anden funktion, kan man beregne grænseværdien ved at tage grænseværdien af den indre funktion først og derefter sætte resultatet ind i den ydre:

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\!\left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Det gælder dog kun, hvis f er kontinuert i det punkt, hvor g(x) nærmer sig.

 

 

Eksempler

1. Beregn grænseværdien:

 

$$ \large \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4) $$

 

Her kan vi blot sætte x = 2 ind, fordi polynomier er kontinuerte:

 

$$ \large 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 12 - 10 + 4 = 6 $$

 

2. Beregn grænseværdien:

 

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

 

Direkte indsættelse giver 0/0, så vi omskriver udtrykket ved faktorisering:

 

$$ \large \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 $$

 

og dermed

 

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$

 

 

Sådan kan regnereglerne bruges til at forenkle og beregne grænseværdier effektivt.

 

 

Opsummering

Regnereglerne for grænseværdier gør det muligt at regne med grænseværdier næsten som med almindelige tal. De gælder for alle funktioner, hvor grænseværdierne eksisterer, og danner grundlaget for de fleste beregninger i analysen.