Le théorème binomial est un résultat important en combinatoire et en algèbre. Il fournit une méthode générale pour développer une expression de la forme \((x+y)^n\).

 

La formule repose sur les combinaisons. Chaque terme du développement correspond à choisir quels facteurs deviennent \(x\) et lesquels deviennent \(y\).

 

 

Exemple avec \( \large n=2 \)

Développons \((x+y)^2\) :

 

$$ \large (x+y)^2 = (x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$

 

Les coefficients devant chaque terme sont \( \large 1,2,1 \).

Parce que :

• Il y a 1 \( \large x^2 \)
• Il y a 2 \( \large xy \)
• Il y a 1 \( \large y^2 \)

 

 

Exemple avec \( \large n=3 \)

Développons \((x+y)^3\) :

 

$$ \large (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

 

Les coefficients sont \( \large 1,3,3,1 \).

 

 

Exemple avec \( \large n=4 \)

Développons \((x+y)^4\) :

 

$$ \large (x+y)^4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 $$

 

Les coefficients sont \( \large 1,4,6,4,1 \).

 

 

Triangle de Pascal

Les coefficients obtenus peuvent être organisés dans un triangle appelé triangle de Pascal :

 

 

$$ \large \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & 1 & & & & & & & \\ & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\ & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\ & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\ & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\ & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\ & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\ & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\ 1 & & 8 & & 28 & & 56 & & 70 & & 56 & & 28 & & 8 & & 1 \\ \end{array} $$

 

Chaque ligne correspond aux coefficients dans \(\large (x+y)^n\).

 

 

La formule générale

Le théorème binomial dit généralement :

 

$$ \large (x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r} $$

 

Ici \(\large \binom{n}{r}\) est une combinaison et indique combien de façons on peut choisir \(r\) facteurs de \(x\) parmi \(n\).

 

 

Exemple avec \( \large n=5 \)

Le développement de \((x+y)^5\) est :

 

$$ \large (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 $$

 

Les coefficients \( \large 1,5,10,10,5,1 \) correspondent à la ligne 5 du triangle de Pascal.

 

 

Résumé

• Le théorème binomial donne une méthode pour développer \((x+y)^n\).
• Les coefficients se trouvent dans le triangle de Pascal.
• Les coefficients sont donnés par des combinaisons : \(\large \binom{n}{r}\).

 

Le théorème relie l’algèbre, la combinatoire et la probabilité, et il est à la base de la distribution binomiale.