Factorielle

La factorielle est une fonction fondamentale en mathématiques, souvent utilisée en combinatoire. La factorielle s’écrit avec un point d’exclamation après un nombre, par exemple n!.

 

La définition est :

 

$$ \large n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 $$

 

Cela signifie que nous multiplions le nombre n par tous les nombres naturels inférieurs, jusqu’à 1.

 

 

Exemples

 

$$ \large 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$

$$ \large 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$

$$ \large 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

$$ \large 2! = 2 \cdot 1 = 2 $$

$$ \large 1! = 1 $$

 

Par convention on définit :

 

$$ \large 0! = 1 $$

 

 

Exemple de la vie courante

De combien de façons 4 personnes peuvent-elles être placées en ligne ?

 

La première place peut être prise par 4 personnes, la suivante par 3, puis 2 et enfin 1. Au total :

 

$$ \large 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24 $$

 

Il y a donc 24 possibilités différentes.

 

 

Résumé

La factorielle est utilisée pour calculer le nombre de permutations et intervient dans de nombreuses formules de combinatoire et de probabilité.

 

Quand vous voyez n!, cela signifie que vous devez multiplier n par tous les nombres positifs inférieurs, jusqu’à 1. La factorielle croît très rapidement, même pour de petites valeurs de n.