Sucesiones y fórmulas recursivas

Una sucesión es una lista ordenada de números, donde cada elemento tiene un lugar específico. Una sucesión puede describirse mediante una fórmula explícita o mediante una fórmula recursiva.

Cuando una sucesión se define recursivamente, el siguiente término depende de uno o más de los anteriores.

 

Ejemplo de una sucesión recursiva simple

Podemos definir una sucesión en la que cada término es el doble del anterior:

 

$$ \large a_{n} = 2 \cdot a_{n-1}, \quad a_{0} = 1 $$

 

Aquí \( \large a_{0} = 1 \) es el punto de partida. A partir de la fórmula obtenemos

 

$$ \large a_{1} = 2, \quad a_{2} = 4, \quad a_{3} = 8, \quad a_{4} = 16, \ldots $$

 

 

Fórmula recursiva

En una fórmula recursiva, un término se describe a partir de los anteriores. Para comenzar, es necesario conocer uno o más valores iniciales, llamados condiciones iniciales.

 

Recursión de primer orden

Una recursión de primer orden significa que cada término depende solo del anterior. Un ejemplo es

 

$$ \large a_{n} = 3 \cdot a_{n-1}, \quad a_{0} = 2 $$

 

Aquí cada término se multiplica por 3 en relación con el anterior. La sucesión es

 

$$ \large 2, \; 6, \; 18, \; 54, \ldots $$

 

Recursión de segundo orden

Una recursión de segundo orden significa que cada término depende de los dos anteriores. El ejemplo más famoso es la sucesión de Fibonacci:

 

$$ \large F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_{0} = 0, \quad F_{1} = 1 $$

 

Aquí cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza como

 

$$ \large 0, \; 1, \; 1, \; 2, \; 3, \; 5, \; 8, \; 13, \ldots $$

 

Existen muchos otros ejemplos de recursiones de segundo orden. Aquí hay uno en el que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2 y restando el penúltimo:

 

$$ \large a_{n} = 2 \cdot a_{n-1} - a_{n-2}, \quad a_{0} = 1, \quad a_{1} = 2 $$

 

Si sustituimos los primeros valores, obtenemos

 

$$ \large a_{2} = 3, \quad a_{3} = 4, \quad a_{4} = 5, \quad a_{5} = 6, \ldots $$

 

En este caso, la recursión produce una progresión aritmética simple, aunque la fórmula original parezca más complicada.

 

Fórmula explícita

Aquí de hecho se puede encontrar una fórmula explícita que describe toda la sucesión directamente:

 

$$ \large a_{n} = n + 1 $$

 

Esto muestra que las formas recursivas y explícitas a menudo están estrechamente relacionadas. Una definición recursiva aparentemente compleja puede ocultar una fórmula explícita muy simple.

 

 

Terminología

En el trabajo con fórmulas recursivas se utilizan algunos conceptos fijos:

 

• Condiciones iniciales: los primeros valores que inician la sucesión.
• Grado de recursión: cuántos términos anteriores se usan para determinar el siguiente (por ejemplo, de primer orden o de segundo orden).
• Base: los primeros pasos de la definición sobre los que se construye el resto.

 

Estos conceptos aparecen en todos los tipos de definiciones recursivas y facilitan el trabajo sistemático con ellas.

 

 

Resumen

Las fórmulas recursivas son útiles para describir estructuras en las que cada nuevo término surge de los anteriores. Dan una imagen clara de la relación entre los números, pero requieren conocer los términos anteriores para poder continuar. A menudo, más tarde se puede encontrar una fórmula explícita que proporciona una manera más rápida de calcular directamente.

Comprender la diferencia entre recursiones de primer y segundo orden, y su relación con las soluciones explícitas, es un primer paso importante en el trabajo con métodos recursivos.