Solución explícita de fórmulas recursivas
Cuando una sucesión está definida por una fórmula recursiva, puede ser complicado calcular un término arbitrario, porque siempre se deben conocer los anteriores. Por eso, a menudo se busca una solución explícita, donde cada término pueda calcularse directamente a partir de \( \large n \).
De recursiva a explícita
Un método común es escribir los primeros términos e intentar encontrar un patrón. A menudo, los primeros cálculos revelan una relación que puede generalizarse.
Ejemplo 1
Consideramos la sucesión
$$ \large a_{n} = 2 \cdot a_{n-1}, \quad a_{0} = 1 $$
Los primeros valores son
$$ \large a_{1} = 2, \quad a_{2} = 4, \quad a_{3} = 8, \quad a_{4} = 16 $$
El patrón es claro: cada término es una potencia de 2. La fórmula explícita es
$$ \large a_{n} = 2^n $$
Ejemplo 2
Consideramos la sucesión
$$ \large a_{n} = 2 \cdot a_{n-1} + 1, \quad a_{0} = 1 $$
Los primeros valores son
$$ \large a_{1} = 3, \quad a_{2} = 7, \quad a_{3} = 15, \quad a_{4} = 31 $$
Aquí vemos el patrón: \( \large a_{n} = 2^{\,n+1} - 1 \). Esto puede demostrarse por inducción o “desplegando la recurrencia” paso a paso.
Desplegar la recurrencia
En lugar de solo adivinar el patrón, se puede intentar sustituir varias veces en la fórmula. Por ejemplo:
$$ \large a_{n} = 2 \cdot a_{n-1} + 1 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large a_{n}= 2 \cdot (2 \cdot a_{n-2} + 1) + 1 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large a_{n}= 2^2 \cdot a_{n-2} + 2 + 1 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large a_{n}= 2^3 \cdot a_{n-3} + 2^2 + 2 + 1 $$
Si continuamos este patrón hasta \( \large a_{0} = 1 \), obtenemos
$$ \large a_{n} = 2^n \cdot a_{0} + (2^n - 1) $$
Como \( \large a_{0} = 1 \), el resultado es
$$ \large a_{n} = 2^n + 2^n - 1 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large a_{n} = 2^{\,n+1} - 1 $$
Ejemplo de una recurrencia de 2º orden
Consideramos ahora una sucesión que depende de los dos términos anteriores:
$$ \large a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad a_{0} = 2, \quad a_{1} = 3 $$
Los primeros términos son:
$$ \large a_{2} = 5, \quad a_{3} = 8, \quad a_{4} = 13, \quad a_{5} = 21, \ldots $$
Para encontrar una fórmula explícita usamos el método de las raíces características. Suponemos una solución de la forma:
$$ \large a_{n} = r^n $$
¿Por qué esta suposición?
La recurrencia es lineal y tiene coeficientes constantes.
Cuando un término es siempre una combinación lineal de un número fijo de términos anteriores, es natural probar con una forma exponencial \( \large r^n \). Si insertamos esta suposición, la recurrencia se reduce a una ecuación en \( \large r \) que no depende de \( \large n \).
Esto significa que toda la recurrencia puede cumplirse con una sucesión geométrica, donde la razón entre dos términos consecutivos es constante.
Otras suposiciones, como \( \large n^\alpha \), no podrían satisfacer la recurrencia para todos \( \large n \).
Insertado en la recurrencia, esto da:
$$ \large r^n = r^{n-1} + r^{n-2} $$
Dividiendo por \( \large r^{\,n-2} \) (para \( \large r \neq 0 \)), obtenemos
$$ \large r^2 = r + 1 $$
Esto se llama la ecuación característica. Puede reescribirse como:
$$ \large r^2 - r - 1 = 0 $$
Con la fórmula cuadrática, hallamos el discriminante:
$$ \large \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = 1 + 4 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = 5 $$
De aquí proviene la raíz cuadrada de 5. Las soluciones son:
$$ \large r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $$
Por lo tanto, la solución general es
$$ \large a_{n} = C_1 \cdot r_1^n + C_2 \cdot r_2^n $$
Determinamos las constantes a partir de las condiciones iniciales:
$$ \large a_{0} = 2 = C_1 + C_2 $$
$$ \large a_{1} = 3 = C_1 \cdot r_1 + C_2 \cdot r_2 $$
De aquí se obtiene:
$$ \large C_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}}, \quad C_2 = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}} $$
La fórmula explícita es entonces:
$$ \large a_{n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n \;+\; \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n $$
Con esta fórmula se puede calcular cualquier término directamente. Por ejemplo, con \( \large n = 5 \):
$$ \large a_{5} = 21 $$
Resumen
Una solución explícita permite ir directamente al término número \( \large n \) sin calcular todos los anteriores. A menudo se encuentra la fórmula observando un patrón o desplegando la recurrencia. En casos más avanzados, como las recurrencias de 2º orden, puede usarse el método de las raíces características. Muchas fórmulas recursivas pueden así reescribirse en una forma explícita simple, que aporta tanto una visión de la estructura como una mayor facilidad de cálculo.