Reglas de los límites

Al trabajar con límites, puede resultar complicado calcularlos directamente a partir de la definición. Afortunadamente, existen varias reglas simples que permiten encontrar muchos límites sin largas deducciones. Estas reglas se asemejan a las reglas aritméticas comunes del álgebra.

 

 

Suma y diferencia

Si dos funciones tienen un límite en el mismo punto, se pueden sumar o restar sus límites:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $$

 

Esto significa que se puede calcular cada límite por separado y luego realizar la suma o la resta sobre los resultados.

 

 

Producto

El límite de un producto es el producto de los límites:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Por lo tanto, los dos límites se multiplican, siempre que ambos existan y sean finitos.

 

 

Cociente

Para una fracción, el límite puede encontrarse tomando el límite del numerador y del denominador por separado, siempre que el límite del denominador no sea cero:

 

$$ \large \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{si } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 $$

 

Si el límite del denominador es cero, debe examinarse el caso más de cerca, ya que pueden aparecer límites infinitos o situaciones de 0/0 que requieren reescritura o factorización.

 

 

Constante por función

Una constante puede sacarse siempre fuera del signo del límite:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) $$

 

Esto simplifica muchas expresiones, ya que se pueden ignorar los factores que no dependen de x.

 

 

Potencias y raíces

Si la función tiene un límite, se pueden aplicar potencias y raíces directamente al resultado:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right)^n $$

$$ \large \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} $$

 

Estas reglas se aplican siempre que la potencia o la raíz resultante estén definidas (por ejemplo, no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales).

 

 

Funciones compuestas

Si una función está compuesta por otra función, el límite puede calcularse tomando primero el límite de la función interna y luego sustituyendo el resultado en la externa:

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\!\left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Esto solo se cumple si f es continua en el punto al que se aproxima g(x).

 

 

Ejemplos

1. Calcular el límite:

 

$$ \large \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4) $$

 

Aquí podemos sustituir directamente x = 2, ya que los polinomios son continuos:

 

$$ \large 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 12 - 10 + 4 = 6 $$

 

2. Calcular el límite:

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

 

La sustitución directa da 0/0, así que reescribimos la expresión factorizando:

 

$$ \large \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 $$

 

y por tanto

 

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$

 

 

Así se pueden usar las reglas para simplificar y calcular límites de manera eficiente.

 

 

Resumen

Las reglas de los límites permiten trabajar con ellos casi como con números ordinarios. Se aplican a todas las funciones cuyos límites existan y constituyen la base de la mayoría de los cálculos en el análisis.