Límites y continuidad
En el análisis, gran parte del trabajo consiste en describir cómo se comportan las funciones al acercarse a ciertos puntos o cuando x crece hacia el infinito. Para hablar de esto, utilizamos los conceptos de límite y continuidad.
¿Qué es un límite?
Un límite describe el valor al que se aproxima una función cuando x se acerca cada vez más a un punto determinado. Aunque la función no tenga necesariamente un valor exacto en ese punto, el límite puede existir igualmente.
$$ \large \lim_{x \to a} f(x) = L $$
Esto significa que cuando x se aproxima a a, el valor de la función se aproxima al número L.
También se puede hablar de límite por la izquierda y límite por la derecha, observando qué ocurre al acercarse a a desde cada lado. Si ambos límites son iguales, se dice que la función tiene un límite finito en ese punto.
Los límites se utilizan para describir el comportamiento cerca de saltos, huecos o crecimientos infinitos en las funciones. Por ello desempeñan un papel central en todo el cálculo diferencial e integral.
Ejemplos de límites
Un ejemplo sencillo es la función \( \large f(x) = 2x + 1 \). Cuando x se aproxima a 3, podemos calcular el límite directamente:
$$ \large \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 $$
Esto significa que la función se aproxima al valor 7 cuando x se acerca a 3. Aquí la función también está definida en ese punto, por lo que el valor real y el límite son iguales.
Pero a veces la función no está definida en el punto, aunque el límite exista. Consideremos, por ejemplo, la función
$$ \large f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$
No se puede sustituir x = 3 directamente, ya que el denominador sería cero. Pero si simplificamos la expresión, obtenemos
$$ \large f(x) = x + 3 \quad \text{para } x \neq 3 $$
y por tanto
$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$
Aunque la función no está definida en x = 3, el límite sí existe. Gráficamente, esto corresponde a un pequeño “hueco” en la gráfica en el punto (3, 6).
Límites en el infinito
También se puede estudiar cómo se comporta una función cuando x crece sin límite. Por ejemplo:
$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Esto significa que \( \frac{1}{x} \) se hace cada vez más pequeño a medida que x aumenta, y finalmente se aproxima a cero. De la misma manera, se pueden describir funciones que crecen hacia el infinito.
Continuidad
Una función es continua en un punto si no hay un “salto” en la gráfica en ese punto. Más precisamente, el límite y el valor real de la función deben ser iguales:
$$ \large \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
Esto significa que la gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz. Si el límite no existe, o si la función salta sobre un punto, la función no es continua allí.
La continuidad es una propiedad importante porque garantiza que la función cambia de forma suave. Muchos teoremas del análisis —como el teorema del valor intermedio y la diferenciabilidad— requieren que la función sea continua.
Importancia en el análisis
Los límites y la continuidad constituyen la base de todo el análisis. Son el requisito previo para definir la derivada, que describe las tasas y pendientes, y más adelante el integral, que describe áreas y sumas acumuladas.
En los temas siguientes se verá cómo se pueden calcular los límites de forma sistemática mediante reglas, y cómo analizar situaciones especiales donde los límites conducen a resultados infinitos o no definidos.
Al comprender tanto los límites como la continuidad, se obtiene una visión clara de cómo se comportan las funciones y, por tanto, la base para todo el análisis posterior.