Fakultät

Die Fakultät ist eine grundlegende Funktion in der Mathematik, die oft in der Kombinatorik verwendet wird. Die Fakultät wird mit einem Ausrufezeichen nach einer Zahl geschrieben, z. B. n!.

 

Die Definition lautet:

 

$$ \large n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 $$

 

Das bedeutet, dass wir die Zahl n mit allen natürlichen Zahlen darunter multiplizieren, bis hinunter zu 1.

 

 

Beispiele

 

$$ \large 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$

$$ \large 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$

$$ \large 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

$$ \large 2! = 2 \cdot 1 = 2 $$

$$ \large 1! = 1 $$

 

Als Konvention wird definiert:

 

$$ \large 0! = 1 $$

 

 

Beispiel aus dem Alltag

Auf wie viele Arten können 4 Personen in einer Reihe aufgestellt werden?

 

Der erste Platz kann von 4 Personen eingenommen werden, der nächste von 3, dann 2 und schließlich 1. Insgesamt:

 

$$ \large 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24 $$

 

Es gibt also 24 verschiedene Möglichkeiten.

 

 

Zusammenfassung

Die Fakultät wird verwendet, um die Anzahl der Permutationen zu berechnen und spielt in vielen Formeln der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Rolle.

 

Wenn du n! siehst, bedeutet das, dass du n mit allen positiven Zahlen darunter multiplizieren musst, bis hinunter zu 1. Die Fakultät wächst sehr schnell, selbst für kleine Werte von n.