Widerspruchsbeweis
Ein Widerspruchsbeweis ist eine Methode, bei der man das Gegenteil von dem annimmt, was man zeigen will, und dann zeigt, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Wenn ein Widerspruch auftritt, bedeutet dies, dass die Annahme nicht wahr sein kann, und daher muss die ursprüngliche Aussage korrekt sein.
Die Methode ist nützlich, wenn ein direkter Beweis schwierig oder unübersichtlich ist. Oft kann ein Widerspruch verdeutlichen, warum eine Aussage gelten muss, und die Technik wird in vielen der berühmtesten Beweise der Mathematik verwendet.
Vorgehensweise
Ein Widerspruchsbeweis kann in drei Schritten beschrieben werden:
1. Annehmen, dass die Aussage, die man beweisen will, falsch ist.
2. Logische Regeln, Definitionen und frühere Ergebnisse verwenden, um Konsequenzen aus der Annahme abzuleiten.
3. Zeigen, dass man zu einem Widerspruch gelangt, zum Beispiel, dass etwas gleichzeitig wahr und falsch sein muss.
Beispiel 1
Wir wollen beweisen, dass es keine ungerade Zahl gibt, die durch 2 teilbar ist. Nehmen wir das Gegenteil an, dass eine Zahl \( \large n \) ungerade und durch 2 teilbar ist. Dann können wir schreiben:
$$ \large n = 2a+1 \quad \text{und} \quad n = 2b $$
Hier ist \( \large n \) auf zwei Arten geschrieben: sowohl als ungerade als auch als gerade. Das ist unmöglich, da sich die beiden Formen gegenseitig ausschließen. Somit ist die Annahme ein Widerspruch, und die Schlussfolgerung ist, dass keine ungerade Zahl durch 2 teilbar ist.
Beispiel 2
Ein klassischer Widerspruchsbeweis ist, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist. Nehmen wir das Gegenteil an, dass \( \large \sqrt{2} \) rational ist, also dass sie als Bruch geschrieben werden kann:
$$ \large \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$
wobei \( \large p \) und \( \large q \) ganze Zahlen ohne gemeinsame Faktoren sind. Umgeschrieben ergibt dies:
$$ \large 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2 $$
Daraus folgt, dass \( \large p^2 \) gerade ist, was bedeutet, dass \( \large p \) gerade sein muss. Sei \( \large p = 2k \). Eingesetzt in die Gleichung:
$$ \large (2k)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2k^2 $$
Nun folgt, dass auch \( \large q \) gerade ist. Aber dann haben \( \large p \) und \( \large q \) den gemeinsamen Faktor 2, was der Annahme widerspricht, dass der Bruch gekürzt war. Daher kann \( \large \sqrt{2} \) nicht rational sein.
Widerspruchsbeweise sind eines der mächtigsten Werkzeuge in der Mathematik. Sie werden nicht nur verwendet, um Ergebnisse in der Zahlentheorie zu zeigen, sondern auch in Algebra, Analysis und Logik, wo ein direkter Ansatz unmöglich sein kann. Indem man das Denken auf den Kopf stellt, kann man die Wahrheit durch das Unmögliche zeigen.